Potenza e ruote dentate

[noiseplayer]

ffice:word" />Abbiamo due ruote dentate, da 36 denti e 12 denti di peso 8,2 kg e 0,9 kg, che sono azionate da due motori in grado di spingere con coppia massima rispettivamente di 0,5 Nm e 1 Nm, costante (idealmente) per qualunque numero di giri del motore. I motori ruotano in sensi discordi (ovvero entrambi nello stesso senso). Trascurando l’attrito, vogliamo sapere quale dei due motori ha la meglio nell’imporre all’altro il proprio senso di rotazione e qual’è l’intensità della forza di contatto tra le due ruote dentate, supponendo verosimilmente che il rapporto tra i bracci è di 3:1 (essendo il rapporto tra i denti 3:1). Inoltre vogliamo sapere qual'è la potenza meccanica erogata dai due motori a regime nell'ipotesi di mantenere (con un controllo automatico) la velocità costante a 480 giri al minuto (50 rad/s). Il problema è di non facile soluzione, almeno per me. Grazie a tutti quelli che vorranno discuterne insieme.

[AlessioF76]

:non mi sembra molto "FREE ENERGY"

così a naso, partendo da fermi e con le ruote dentate già connesse la vince il motore da 1Nm sulla ruota da 12 denti ha il doppio di coppia dell'altro motore e un rapporto favorevole, per il calcolo seguente bisognerebbe anche sapere quale delle due ruote fa 480 giri/min, poi dovrei mettermi a studiare

[docsavage]

Come detto da Alessio la vince il motore da 1Nm
riportando tutte le coppie alla ruota dentata da 12 denti abbiamo il secondo motore che "spinge" 1 Nm ed il primo che "frena" (discorde) 1/6 di Nm.

Ammesso che l'asse che fà 50 rad/sec sia quello della ruota da 12 denti, avremo:
velocità angolare del motore numero 1: 50 rad/sec fratto il rapporto dei denti delle ruote =50 / 3 rad/sec
potenza del motore numero 1: coppia per velocità angolare= -0.5 per 50 /3
(meno a causa dei sensi discordi) = 8,3 (periodico) W in frenata (sensi discordi: frena o genera 8,3W)
siccome il sistema è in equilibrio (giri costanti) la coppia al secondo motore è pari a 0,5 fratto il rapporto dei denti, ovvero 0,16 (6 periodico) Nm
la potenza erogata dal secondo motore sarà: coppia per velocità = 0,16 * 50= 8,3 (periodico) W (a spingere), non è un caso che le due potenze siano uguali.
Non è possibile calcolare la forza trasmessa tra le ruote, senza sapere il diametro primitivo di almeno una delle due.
Delle condizioni date almeno una non è possibile, ovvero c'è ne sono due antitetiche: o il motore due NON eroga la coppia nominale ma solo 0,16 Nm, ed in tal caso i giri sono costanti, oppure il motore due eroga la coppia di 1Nm ed all'ora la differenza tra la coppia assorbita dal motore 1 e quella erogata dal motore 2 viene impiegata a vincere l'inerzia del sistema, quindi i giri NON sono costanti ma in accelerazione.

[noiseplayer]

Scusatemi, ho dimenticato di dare alcuni dati:
Motore 1 su ruota 1 da 36 denti: limitato a max 480 giri/min = 50,3 rad/s, max 0.5 Nm
Motore 2 su ruota 2 da 12 denti: limitato a max 480 giri/min = 50,3 rad/s, max 1 Nm
Diametro primitivo ruota 1: 0.36 m, peso ruota 1: 8.2 Kg
Diametro primitivo ruota 2: 0.12 m, peso ruota 1: 0.9 kg

Come detto da Alessio la vince il motore da 1Nm
riportando tutte le coppie alla ruota dentata da 12 denti abbiamo il secondo motore che "spinge" 1 Nm ed il primo che "frena" (discorde) 1/6 di Nm.

Questo si deduce semplicemente confrontando 1 Nm e 0.5 Nm. Giusto.
Ma propongo, se siete d'accordo, di cercare un'altra strada che non sia quella di uguagliare la potenza dei due motori.
Il motore 1 può spingere al massimo con 0,5 Nm, il motore 2 con 1 Nm.
Sappiamo però che per poter spingere con la sua forza massima un motore deve avere un carico che lo contrasta con quella forza.
Alla partenza, da fermi, con quale forza i due motori riescono a spingere? Ovvero, quale carico sentono?
Il motore 1 a 0.18m dal suo asse può spingere al massimo 0.5Nm/0.18m = 2.78N
Il motore 2 a 0.06m dal suo asse può spingere al massimo 1Nm/0.06m = 16.7N
La ruota 1 ha momento di inerzia di circa 0.5 * 8.2kg * (0.18)^2 m^2 = 0.13 kg*m^2
La ruota 2 ha momento di inerzia di circa 0.5 * 0.9kg * (0.12)^2 m^2 = 0.0065 kg*m^2
Più è grande il momento di inerzia di un corpo, minore è la sua accelerazione angolare a parità di coppia impressagli.
Ora: considerando solo l'inerzia delle ruote dentate, ogni motore "spinge" contro lo stesso momento di inerzia che è la somma dei due oppure ognuno sente un'inerzia differente da contrastare?
Alla partenza, accendendo simultaneamente i due motori, considerando le coppie dei motori e i momenti di inerzia, quale forza abbiamo nel punto di contratto tra le ruote dentate?

Ammesso che l'asse che fà 50 rad/sec sia quello della ruota da 12 denti, avremo:
velocità angolare del motore numero 1: 50 rad/sec fratto il rapporto dei denti delle ruote =50 / 3 rad/sec
potenza del motore numero 1: coppia per velocità angolare= -0.5 per 50 /3
(meno a causa dei sensi discordi) = 8,3 (periodico) W in frenata (sensi discordi: frena o genera 8,3W)
siccome il sistema è in equilibrio (giri costanti) la coppia al secondo motore è pari a 0,5 fratto il rapporto dei denti, ovvero 0,16 (6 periodico) Nm
la potenza erogata dal secondo motore sarà: coppia per velocità = 0,16 * 50= 8,3 (periodico) W (a spingere), non è un caso che le due potenze siano uguali.

Ok, ammesso che il motore 2 abbia vinto, a regime consumerà 0,167Nm * 50,3 rad/s = 8.40 W e, poiché spinge con 0.167 Nm, nel punto di contatto c'è una forza di 0.167Nm/0.06m=2.78N pari alla forza massima del motore 1 in quel punto.

Non è possibile calcolare la forza trasmessa tra le ruote, senza sapere il diametro primitivo di almeno una delle due.

Hai ragione, ora sappiamo i diametri.

Delle condizioni date almeno una non è possibile, ovvero c'è ne sono due antitetiche: o il motore due NON eroga la coppia nominale ma solo 0,16 Nm, ed in tal caso i giri sono costanti, oppure il motore due eroga la coppia di 1Nm ed all'ora la differenza tra la coppia assorbita dal motore 1 e quella erogata dal motore 2 viene impiegata a vincere l'inerzia del sistema, quindi i giri NON sono costanti ma
in accelerazione.

Il sistema viene mantenuto ad un regime di giri costanti da un controllo che limita la velocità del motore "dominante" a 480 rpm, diminuendo opportunamente l'assorbimento di energia e quindi la coppia. Immagino si possa fare con due misuratori di giri collegati a due potenziometri che agiscono sulla corrente fornita ai motori.

[docsavage]

Per Noiseplayer
mi sebra che te la cavi benissimo da solo
comunque cosa vuoi sapere?
hai fatto una domanda e hai avuto una risposta
hai duplicato la risposta e cambiato il senso alla domanda
adesso, per cortesia, spiegami che cosa vuoi sapere

[noiseplayer]

Per Noiseplayer <...> spiegami che cosa vuoi sapere

Voglio sapere se, per stabilire chi vince, bisogna anche tenere conto dell'inerzia delle ruote dentate e non solo delle coppie nominali dei due motori. Cioè mi interessa sapere quanto conta l'inerzia dei corpi rotanti nella trasmissione di potenza. Semplifichiamo il problema così:
Sostituiamo le ruote dentate con due ruote dentate da 36 denti aventi stesso diametro 0.3m ma pesi diversi, di 3kg e 21kg. E sostituiamo i due motori con due motori uguali da 1Nm di coppia massima. Il sistema sta fermo o una delle due ruote vince?

[docsavage]

Il sistema sta fermo o una delle due ruote vince?

Prima te la sei cavata benissimo, e mi sembra che non hai dovuto chiamare in causa le inerzie, vero?

[noiseplayer]

Prima te la sei cavata benissimo, e mi sembra che non hai dovuto chiamare in causa le inerzie, vero?

Grazie... quindi sostieni che, nel caso di due motori uguali da 1 Nm che spingono due ruote dentate uguali (rapporto 1:1) ma con rapporto di peso di 1/7, sia sufficiente confrontare le coppie per dire che non si muove nulla... è un pò come dire che se un uomo di 70 kg ed un bambino di 10 kg si spingono a vicenda con forze uguali e contrarie, nessuno dei due si muove... direi invece che il bambino si muove 7 volte di più dell'uomo, giusto? Analogamente, può la ruota di 3 kg muoversi 7 volte di più di quella da 21 kg?

[docsavage]

Grazie... quindi sostieni che, nel caso di due motori uguali da 1 Nm che spingono due ruote dentate uguali (rapporto 1:1) ma con rapporto di peso di 1/7, sia sufficiente confrontare le coppie per dire che non si muove nulla...

Analogamente, può la ruota di 3 kg muoversi 7 volte di più di quella da 21 kg?

Guarda che io non sostengo nulla, sono i tuoi calcoli che lo dicono, se ti prendi la briga di ripeterli.
Se non lo fai, ma filosofeggi, puoi ottenere tutti i risultati che la tua fantasia può pensare, ma rimangono solo fantasie.
Ciao, almeno fino a quando non avrai tirato fuori i calcoli, che sai fare benissimo, ma che non vuoi vedere

[noiseplayer]

Guarda che io non sostengo nulla, sono i tuoi calcoli che lo dicono, se ti prendi la briga di ripeterli.
Se non lo fai, ma filosofeggi, puoi ottenere tutti i risultati che la tua fantasia può pensare, ma rimangono solo fantasie.
Ciao, almeno fino a quando non avrai tirato fuori i calcoli, che sai fare benissimo, ma che non vuoi vedere

Hai ragione, sono calcoli che non voglio tirar fuori perché da un lato stento a condividerne le fondamenta (f=ma) e dall'altro sono faticosi da fare... per questo speravo li facessi tu... OK, ci provo...



momento di inerzia 1 = 0.5 * 3kg * (0.18m)^2 = 0,0486 kg*m^2
momento di inerzia 2 = 0.5 * 21kg * (0.18m)^2 = 0,340 kg*m^2 = 7 * (momento di inerzia 1)

Distinguiamo 4 casi:

CASO 1: le ruote non si toccano e i due motori sono accesi:
1Nm = momento torcente 1 = (momento di inerzia 1) * (accelerazione angolare 1)
1Nm = momento torcente 2 = (momento di inerzia 2) * (accelerazione angolare 2)
accelerazione angolare 1 = 1Nm/(0,0486 kg*m^2) = 20,6 rad/s^2
accelerazione angolare 2 = 1Nm/(0,340 kg*m^2) = 2,94 rad/s^2

CASO 2: le ruote si toccano e solo il motore 1 (ruota leggera) è acceso:
1Nm = (momento torcente 1+2) = (momento di inerzia 1 + momento di inerzia 2) * (accelerazione angolare 1+2)
(accelerazione angolare 1+2) = 1Nm/(0,389 kg*m^2) = 2,57 rad/s^2

CASO 3: le ruote si toccano e solo il motore 2 (ruota pesante) è acceso:
la ruota 2 (pesante) parte con accelerazione 2,94 rad/sec^2 ma scontra subito la ruota 1 (leggera) con una certa velocità angolare. Se supponiamo ci sia un lasco di 5 centesimi di millimetro tra i denti delle ruote, che corrisponde a 0,000246 rad che la ruota 2 percorre prima dell'urto, la velocità che essa raggiunge all'urto è radice quadrata di (2 * 2,94 rad/s^2 * 0,000246 rad) = 0,0381 rad/sec. Considerando l'urto elastico:
Prima dell'urto:
momento angolare totale = 0 + (momento inerzia 2) * (velocità angolare 2) = 0,340 kg*m^2 * 0,0381 rad/sec = 0,0130 kg*m^2/sec
energia cinetica = 0 + 0.5* (momento inerzia 2) * (velocità angolare 2)^2 = 0,170 kg*m^2 * 0,00145 rad^2/sec^2 = 0,000246 J
Dopo l'urto la teoria dice che si conservano momento angolare ed energia cinetica totali:
(1) momento angolare totale = 0,0130 kg*m^2/sec = 0,0486 kg*m^2 * (velocità angolare 1) + 0,340 kg*m^2 * (velocità angolare 2)
(2) energia cinetica totale = 0,000246 J = 0,5 * 0,0486 kg*m^2 * (velocità angolare 1)^2 + 0,5 * 0,340 kg*m^2 * (velocità angolare 2)^2
sistema di due equazioni (1) e(2) a due incognite, abbreviamone la notazione:
(1) 0,0486 vang1 + 0,340 vang2 = 0,0130
(2) 0,0243 vang1^2 + 0,170 vang2^2 = 0,000246
dalla (1): vang2 = 0,0382 - 0,143 vang1
sostituendo in (2) otteniamo: 0,0243 vang1^2 + 0,170 (0,0382^2 + 0,143^2 vang1^2 - 2*0,0382*0,143 vang1) = 0,000246
ovvero: 0,0447 vang1^2 - 0,0109 vang1 = 0, eq. di secondo grado di forma ax^2+bx=0
che ammette due soluzioni: vang1 = 0 oppure vang1 = 0,0109/0,0447 = 0,244 rad/s
quindi vang2 = 0,0382 rad/s oppure vang2 = 0,0349 rad/s
La prima coppia di soluzioni (vang1 = 0, vang2 = 0,0382), non la capisco, intuisco invece come verosimile la seconda coppia di soluzioni vang1 = 0,244 rad/s, vang2 = 0,0349 rad/s e cioè che al primo urto, la ruota 2 (più pesante) perde velocità cedendone i 7/8 alla ruota 1 (più leggera) che va avanti 7 volte più veloce della ruota 2 (7 volte più pesante). Quindi c'è subito un secondo urto e poi un terzo , un quarto e così via, a causa dei pesi differenti delle due ruote: la pesante ruota 2 spingerà la leggera ruota 1 con urti continui e un qualche movimento vibratorio tra i denti delle due ruote, diversamente dal caso precedente nel quale la leggera ruota 1 si appoggiava e spingeva stabilmente senza vibrazioni la ruota 2 che, grazie all'inerzia 7 volte maggiore di quella della ruota motrice, non rimbalzava continuamente avanti e indietro nel lasco tra i denti.

CASO 4: le ruote si toccano e i due motori sono accesi:
la ruota 1 e la ruota 2 partono con accelerazione angolare rispettivamente 20,6 rad/s^2 e 2,94 rad/s^2 e quindi si scontrano con velocità angolari che stanno tra loro come 7 a 1 (vang1=7*vang2) e moltiplicandole rispettivamente per i momenti d'inerzia che stanno tra loro come 1 a 7 (l'inverso) otteniamo, per le due ruote, momenti angolari uguali ed opposti. Così non è per le energie cinetiche perché queste dipendono dal quadrato delle velocità angolari quindi se le velocità angolari stanno tra loro come 7 e 1, le energie cinetiche stanno tra loro come 49 e 1. Da qui in poi ho grosse difficoltà ad andare avanti... chiedo aiuto.

OSSERVAZIONI: quando le due ruote urtano nel caso 3, dove solo su quella pesante spinge la coppia costante di 1 Nm del motore elettrico, vedendo come ho calcolato l'urto, si può obbiettare: il sistema solo da una parte è libero, dall'altra parte è forzato dal motore quindi non puoi calcolare un normale urto elastico come se i due corpi non fossero forzati e interagissero solo con inerzia. Da parte della ruota 2 (pesante) oltre alla sua inerzia c'è anche una coppia che spinge costantemente con 1 Nm. E' vero, il calcolo non è completo. Ma come devo considerare la coppia di 1 Nm nella conservazione del momento angolare e dell'energia cinetica prima e dopo l'urto?
Spero di aver mostrato che il problema non è così semplice se studiato in dettaglio. Almeno per me.
Può anche essere che abbia impostato male il problema... ma vorrei sapere quale ruolo ha l'inerzia delle ruote dentate nella trasmissione della potenza meccanica. Una ruota dentata più densa si oppone di più ad una spinta che la muove così come una ruota dentata più piccola sull'albero di un motore lo fa spingere di più riducendone i giri e aumentandone la spinta... questo mi fa pensare... filosofia, filosofia...

[docsavage]

Come devi considerare la coppia di un 1Nm nella conservazione dell'energia cinetica? la ignori, l'urto è fenomeno istantaneo, nel tempo dell'urto la potenza del motore è ininfluente, perchè non ha letteralmente il tempo di svilupparsi
E come considerarla nel caso della conservazione della quantità di moto?
stesse considerazioni

un consiglio: ti fai troppe pippe mentali, semplifica il problema, ma sopratutto semplifica la soluzione, ricordati il paradosso di achille e della tartaruga

[mariomaggi]

noiseplayer,

è un pò come dire che se un uomo di 70 kg ed un bambino di 10 kg si spingono a vicenda con forze uguali e contrarie, nessuno dei due si muove...

esatto, nessuno dei due si muove.
Ciao
Mario

[noiseplayer]

noiseplayer,
esatto, nessuno dei due si muove.
Ciao
Mario

Ciao Mario. No. L'uomo di 70 kg che spinge un bambino di 10 kg, se i due si trovano sul ghiaccio (attrito praticamente zero), si muoverà ad 1/7 della velocità con cui si muove il bambino. In questo modo la quantità di moto totale rimarrà uguale a zero.

[docsavage]

Ancora pippe mentali?
non è il nostro caso, oppure i denti delle ruote sono fatti di burro?
Ti ho già detto, semplifica il problema, non complicarti la vita

[noiseplayer]

<...>otteniamo, per le due ruote, momenti angolari uguali ed opposti. Così non è per le energie cinetiche perché queste dipendono dal quadrato delle velocità angolari quindi se le velocità angolari stanno tra loro come 7 e 1, le energie cinetiche stanno tra loro come 49 e 1. Da qui in poi ho grosse difficoltà ad andare avanti... chiedo aiuto.

Mi correggo: le energie cinetiche sono proporzionali anche ai momenti di inerzia, quindi stanno tra loro non come 49 e 1 ma come 49*1 e 1*7 ovvero come 7 e 1. Quindi dopo il primo urto 7 parti di energia cinetica sono nella ruota più leggera e 1 parte nella ruota più pesante.

[docsavage]

Quale tra le parole "semplifica il problema" non ti è chiara?

[noiseplayer]

Come devi considerare la coppia di un 1Nm nella conservazione dell'energia cinetica? la ignori, l'urto è fenomeno istantaneo, nel tempo dell'urto la potenza del motore è ininfluente, perchè non ha letteralmente il tempo di svilupparsi
E come considerarla nel caso della conservazione della quantità di moto?
stesse considerazioni

OK, consideriamo la potenza del motore ininfluente durante gli urti. Torniamo al caso 4 e vediamo che cosa succede ragionando per proporzioni. Dopo il primo urto tra ruota1 (di peso 7) e ruota 2 (di peso 1) abbiamo:
vang1=7, momang1=1*7=7, ecinetica1=1*49=49
vang2=1, momang2=7*1=1, ecinetica2=7*1=7
Ora per evitare mille rimbalzi tra i denti, facciamo finta che le due ruote abbiamo un dente solo: dopo il primo urto le due ruote arretrano con velocità 7 e 1 in senso contrario ai due motori che cominciano a frenarle per riportarle a girare nel loro senso. In quali tempi le due ruote invertono il moto? Per arrestare la ruota 1 che pesa 1 e che subito dopo l'urto ha velocità 7, ci vuole, a parità di coppia, lo stesso tempo che per arrestare la ruota 2 che pesa 1 e che subito dopo l'urto ha velocità 1. Invertito il moto le due ruote urtano di nuovo, esattamente con la stessa dinamica e continuano così all'infinito, urtandosi sempre nello stesso punto che non arretra né avanza. Nella realtà, l'urto completamente elastico non esiste, quindi dopo un pò di rimbalzi le ruote si appoggiano e si spingono con coppie uguali e contrarie, rimanendo ferme. Ok?
Interessante notare che, durante i rimbalzi, l'energia cinetica totale rimane per i 7/8 sulla ruota leggera...

[docsavage]

interessantissimo, hai provato a parlarne col tuo analista?
un simile caso di cocciutaggine va esaminato bene, non credi?