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Esercizio di fisica
Avete a disposizione un generatore di segnali che eroga una tensione alternata sinusoidale nella quale il picco massimo è 156 Kvolt 400Mhz, poi avete a disposizione un certa quantità di idrogeno e avete intenzione di costruire un piccolo acceleratore di ioni composto da un contenitore cilindrico di vetro pirex chiuso ermeticamente contenente gas di idrogeno ed anelli conduttori distanziati in modo opportuno.
Gli anelli conduttori devono essere collegati fra di loro alternativamente (tutti i dispari in un nodo e tutti pari nell'altro nodo).
Sapendo che si volete ottenere un flusso di ioni di idrogeno nella quale ogni singolo ione possiede l'energia di 2,5 Mev, calcolare il numero degli anelli e le distanze tra gli anelli e poi calcolare anche la lunghezza totale che sarebbe la somma di tutte le distanze.
----------------------------------------------------------------------------------------------------
Svolgimento dell'esercizio.
Trattandosi di una forma d'onda sinusoidale non è corretto prendere il considerazione il picco massimo e si deve prendere in considerazione il valore efficace.
Valore efficace = Valore di Picco / RadiceQuadrata(2)
Valore efficace = 110 Kvolt
Se fosse stata un'onda di forma quadrata allora il valore di picco sarebbe andato bene, ma in pratica non possibile ottenere un onda quadra perfetta con alte tensioni e alte frequenze.
LINAC
Accelerazione degli ioni e inversione di polarità devono essere sincronizzati alla perfezione, altrimenti succederà che invece di accelerare gli ioni li freniamo oppure l'accelerazione stessa è variabile, insomma viene fuori un pasticcio che non serve a niente.
Per essere certi che gli ioni vengano sempre spinti (mentre che attraversano gli anelli) occorre che l'avanzata degli ioni sia leggermente in anticipo rispetto al cambio di polarità, per realizzare occorre sapere che le distanze dipendono dalla tensione 110 Kvolt, basta inserire nei calcoli la tensione meno 1/10 della tensione.
tensione da usare nei calcoli per le distanze =110 Kvolt - (100/10) = 100 Kvolt
tensione reale misurata con gli strumenti = 110 Kvolt
Quindi ora sappiamo che...
v1=100 Kvolt (valore efficace non reale da utilizzare nei calcoli) (valore reale = 110 Kvolt)
f=400 Mhz
E1=2,5 Mev
q = carica elettrica del protone = 1,6x10-19 coulomb
massa del protone = 1,6x10-27 chilogrammi
Calcoliamo la tensione totale che dovremmo teoricamente appplicare se pretendessimo (stupidamente) di dare energia di 2,5 Mev allo ione, in un SOLO BALZO cioè senza usare anelli intermedi di accelerazione ma usando semplicementi 2 elettrodi.
Tensione totale = vtot
1 volt= 1 joule / coulomb
vtot = Energia / carica = 2,5 megavolt
Numero anelli = vtot/v1+1
(quel +1 deriva dal fatto che se v1 è uguale a vtot avremmo un solo anello, il che sarebbe impossibile perchè la tensione esiste se ci sono 2 elettrodi cioè 2 anelli, quindi è evidente che si deve sommare +1 altrimenti l'equazione non è valida)
L'equazione appena scritta è dimensionata in modo corretto, infatti dal rapporto di tensioni ricaviamo un numero puro che è il numero degli anelli che servono
NA =E1/v1 = 2,5 x 106 / 1003 = 26 anelli
Tutto deve essere calcolato prendendo in considerazione la tensione non incrementata cioè prendo per valido 100 Kvolt e non 110 Kvolt, poi...
(quando tutto è realizzato), realizzo l'anticipo dell'avanzata degli ioni girando la manopola del generatore di segnali, passando da 100 Kvolt a 110 Kvolt.
Energia = 1/2 massa velocità2
Inversamente si può calcolare la velocità che sarebbe
Velocità = RadiceQuadrata(2x Energia/massa)
Le cose non sono cosi semplici come sembra perchè l'equazione sopra indicata è validissima nell'ambito della fisica classica ma, se ipotesi la velocità dello ione è maggiore di 1/10 della velocità della luce, allora i conti risultano sbagliati.
Perchè sarebbero sbagliati ?
Sarebbero sbagliati perchè le regole della fisica impongono che la velocità della luce non può essere superata e nello stesso tempo l'energia deve fluire da qualche parte in virtù della legge della conservazione dell'energia, ne consegue che per forza di cose deve aumentare la massa.
L'aumento di massa permette il rispetto della conservazione e anche del non superamento o raggiugmento della velocità della luce.
Se però la velocità si mantiene al di sotto di 1/10 della velocità della luce allora l'errore è trascurabile.
Siccome 2,5 Mev sono molto pochi rispetto ai grandi acceleratori famosi, si prevede che il problema quantistico non dovrebbe disturbare i nostri risultati in modo vistoso, ma comunque è necessario calcolare le velocità effettive in km/sec onde evitare di cadere nel classico errore quantistico appena citato.
Per adesso non ci preoccupiamo del limite di 300000 km/sec e applichiamo spensieratamente
Velocità = RadiceQuadrata(2x Energia(joule)/massa)
Però la famosa equazione generale Energia = 1/2 massa velocità2 è valida se la massa è espressa in chilogrammi e l'energia è espressa in joule, e dobbiamo attenerci a queste unità di misura altrimenti i risultati sono sbagliati, questo impone che quel 2,5 deve essere convertito in joule.
1 elettronvolt = 1,6 x 10-19joule
inversamente
1 joule = 6,24x1018 elettronvolt
Velocità finale = RadiceQuadrata(2x 2,5x106 x 1,6x10-19/1,6x10-27)
Velocità finale = RadiceQuadrata(5x106 x 108)
Velocità finale = RadiceQuadrata(5x1014)
Velocità finale = 22360679 metri/sec
Velocità finale = 22 mila km/sec
22 mila km/sec è MINORE della velocità della luce fratto 10 (il risultato è attendibile)
La velocità finale ci serviva soltanto per prevere eventuale problema quantistico, ma quello che interessa di più è l'accelerazione tra un anello dispari e il successivo pari (la cui tensione è sempre inversa -segno + o -)
La velocità tra l'anodo e il PRIMO anello si calcola cosi
Velocitàl1 = RadiceQuadrata(2x1x105 x 108)
Velocità1 = 4 mila km/sec
Da notare che ho utilizzato 1x105 e non 1,1x105 perchè gli ioni devono essere leggermente in anticipo rispetto al cambio di polarità.
Il periodo è inverso alla frequenza, e quello che interessa è il SEMIperiodo quindi
periodo = 1/frequenza
semiperiodo 1 / (2 x frequenza)
T1=1/(400 Mhz x 2) =0,00000000125 = 1,25 x10-9 secondi
Dalla fisica classica (e dal moto rettilineo uniforme) sappiamo che spazio=velocità x tempo
Se facessimo finta che la velocità della particella fosse costante potremmo risolvere la faccenda scrivendo che
spazio = velocità x tempo ----> moto rettilineo uniforme
ma siccome il moto è accelerato allora
spazio = (velocità x tempo) /2
devo giustamente dimostrare da dove proviene spazio = (velocità x tempo) /2
presto detto....
spazio =1/2 x accelerazione x t2
accelerazione = velocità / tempo
sostituendo accelerazione con (velocità / tempo)
otteniamo
spazio =(velocità x tempo) / 2 ------> moto accelerato
distanza1 = (4 x 106 x 1,25 x 10-9) / 2
distanza1 = 0,0025 metri = 2,5 millimetri
Purtroppo le distanze tra gli anelli non devono essere uguali perchè mano mano che lo ione avanza lui (poverino) diventa sempre più veloce, e diventando sempre più veloce succede che poi impiega meno tempo ad attraversare gli altri anelli acceleratori.
Finora ho calcolato distanza1 che è la distanza tra anodo e primo anello, poi c'è da calcolare la distanza2 che c'è fra il primo anello e il secondo, e cosi via fino ad arrivare al 25esimo anello.
Ad ogni anello gli ioni ricevono un incremento di velocità di 4 km/sec e il periodo è sempre quello cioè 1,25 x10-9
distanza2=((v1+v2) x tempo) / 2
distanza3=((v1+v1+v2) x tempo) / 2
eccetera eccetera
distanza1 = 2,5 millimetri
distanza2 = 5 millimetri
distanza3 = 7,5 millimetri
distanza4 = 10 millimetrii
distanza5 = 12,5 millimetri
distanza6 = 15 millimetri
distanza7 = 17,5 millimetri
distanza8 = 20 millimetri
distanza9 = 22,5 millimetri
distanza10 = 25 millimetri
distanza11 = 27,5 millimetri
distanza12 = 30 millimetri
distanza13 = 32,5 millimetri
distanza14 = 35,0 millimetri
distanza15 = 37,5 millimetri
distanza16 = 40,0 millimetri
distanza17 = 42,5 millimetri
distanza18 = 45,0 millimetri
distanza19 = 47,5 millimetri
distanza20 = 50 millimetri
distanza21 = 52,5 millimetri
distanza22 = 55,0 millimetri
distanza23 = 57,5 millimetri
distanza24 = 60,0 millimetri
distanza25 = 62,5 millimetri
Distanza totale = 812,5 millimetri
Il cilindro di vetro deve essere lungo 812,5 millimetri.
Edited by stranger - 12/3/2008, 12:17
Avete a disposizione un generatore di segnali che eroga una tensione alternata sinusoidale nella quale il picco massimo è 156 Kvolt 400Mhz, poi avete a disposizione un certa quantità di idrogeno e avete intenzione di costruire un piccolo acceleratore di ioni composto da un contenitore cilindrico di vetro pirex chiuso ermeticamente contenente gas di idrogeno ed anelli conduttori distanziati in modo opportuno.
Gli anelli conduttori devono essere collegati fra di loro alternativamente (tutti i dispari in un nodo e tutti pari nell'altro nodo).
Sapendo che si volete ottenere un flusso di ioni di idrogeno nella quale ogni singolo ione possiede l'energia di 2,5 Mev, calcolare il numero degli anelli e le distanze tra gli anelli e poi calcolare anche la lunghezza totale che sarebbe la somma di tutte le distanze.
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Svolgimento dell'esercizio.
Trattandosi di una forma d'onda sinusoidale non è corretto prendere il considerazione il picco massimo e si deve prendere in considerazione il valore efficace.
Valore efficace = Valore di Picco / RadiceQuadrata(2)
Valore efficace = 110 Kvolt
Se fosse stata un'onda di forma quadrata allora il valore di picco sarebbe andato bene, ma in pratica non possibile ottenere un onda quadra perfetta con alte tensioni e alte frequenze.
LINAC
Accelerazione degli ioni e inversione di polarità devono essere sincronizzati alla perfezione, altrimenti succederà che invece di accelerare gli ioni li freniamo oppure l'accelerazione stessa è variabile, insomma viene fuori un pasticcio che non serve a niente.
Per essere certi che gli ioni vengano sempre spinti (mentre che attraversano gli anelli) occorre che l'avanzata degli ioni sia leggermente in anticipo rispetto al cambio di polarità, per realizzare occorre sapere che le distanze dipendono dalla tensione 110 Kvolt, basta inserire nei calcoli la tensione meno 1/10 della tensione.
tensione da usare nei calcoli per le distanze =110 Kvolt - (100/10) = 100 Kvolt
tensione reale misurata con gli strumenti = 110 Kvolt
Quindi ora sappiamo che...
v1=100 Kvolt (valore efficace non reale da utilizzare nei calcoli) (valore reale = 110 Kvolt)
f=400 Mhz
E1=2,5 Mev
q = carica elettrica del protone = 1,6x10-19 coulomb
massa del protone = 1,6x10-27 chilogrammi
Calcoliamo la tensione totale che dovremmo teoricamente appplicare se pretendessimo (stupidamente) di dare energia di 2,5 Mev allo ione, in un SOLO BALZO cioè senza usare anelli intermedi di accelerazione ma usando semplicementi 2 elettrodi.
Tensione totale = vtot
1 volt= 1 joule / coulomb
vtot = Energia / carica = 2,5 megavolt
Numero anelli = vtot/v1+1
(quel +1 deriva dal fatto che se v1 è uguale a vtot avremmo un solo anello, il che sarebbe impossibile perchè la tensione esiste se ci sono 2 elettrodi cioè 2 anelli, quindi è evidente che si deve sommare +1 altrimenti l'equazione non è valida)
L'equazione appena scritta è dimensionata in modo corretto, infatti dal rapporto di tensioni ricaviamo un numero puro che è il numero degli anelli che servono
NA =E1/v1 = 2,5 x 106 / 1003 = 26 anelli
Tutto deve essere calcolato prendendo in considerazione la tensione non incrementata cioè prendo per valido 100 Kvolt e non 110 Kvolt, poi...
(quando tutto è realizzato), realizzo l'anticipo dell'avanzata degli ioni girando la manopola del generatore di segnali, passando da 100 Kvolt a 110 Kvolt.
Energia = 1/2 massa velocità2
Inversamente si può calcolare la velocità che sarebbe
Velocità = RadiceQuadrata(2x Energia/massa)
Le cose non sono cosi semplici come sembra perchè l'equazione sopra indicata è validissima nell'ambito della fisica classica ma, se ipotesi la velocità dello ione è maggiore di 1/10 della velocità della luce, allora i conti risultano sbagliati.
Perchè sarebbero sbagliati ?
Sarebbero sbagliati perchè le regole della fisica impongono che la velocità della luce non può essere superata e nello stesso tempo l'energia deve fluire da qualche parte in virtù della legge della conservazione dell'energia, ne consegue che per forza di cose deve aumentare la massa.
L'aumento di massa permette il rispetto della conservazione e anche del non superamento o raggiugmento della velocità della luce.
Se però la velocità si mantiene al di sotto di 1/10 della velocità della luce allora l'errore è trascurabile.
Siccome 2,5 Mev sono molto pochi rispetto ai grandi acceleratori famosi, si prevede che il problema quantistico non dovrebbe disturbare i nostri risultati in modo vistoso, ma comunque è necessario calcolare le velocità effettive in km/sec onde evitare di cadere nel classico errore quantistico appena citato.
Per adesso non ci preoccupiamo del limite di 300000 km/sec e applichiamo spensieratamente
Velocità = RadiceQuadrata(2x Energia(joule)/massa)
Però la famosa equazione generale Energia = 1/2 massa velocità2 è valida se la massa è espressa in chilogrammi e l'energia è espressa in joule, e dobbiamo attenerci a queste unità di misura altrimenti i risultati sono sbagliati, questo impone che quel 2,5 deve essere convertito in joule.
1 elettronvolt = 1,6 x 10-19joule
inversamente
1 joule = 6,24x1018 elettronvolt
Velocità finale = RadiceQuadrata(2x 2,5x106 x 1,6x10-19/1,6x10-27)
Velocità finale = RadiceQuadrata(5x106 x 108)
Velocità finale = RadiceQuadrata(5x1014)
Velocità finale = 22360679 metri/sec
Velocità finale = 22 mila km/sec
22 mila km/sec è MINORE della velocità della luce fratto 10 (il risultato è attendibile)
La velocità finale ci serviva soltanto per prevere eventuale problema quantistico, ma quello che interessa di più è l'accelerazione tra un anello dispari e il successivo pari (la cui tensione è sempre inversa -segno + o -)
La velocità tra l'anodo e il PRIMO anello si calcola cosi
Velocitàl1 = RadiceQuadrata(2x1x105 x 108)
Velocità1 = 4 mila km/sec
Da notare che ho utilizzato 1x105 e non 1,1x105 perchè gli ioni devono essere leggermente in anticipo rispetto al cambio di polarità.
Il periodo è inverso alla frequenza, e quello che interessa è il SEMIperiodo quindi
periodo = 1/frequenza
semiperiodo 1 / (2 x frequenza)
T1=1/(400 Mhz x 2) =0,00000000125 = 1,25 x10-9 secondi
Dalla fisica classica (e dal moto rettilineo uniforme) sappiamo che spazio=velocità x tempo
Se facessimo finta che la velocità della particella fosse costante potremmo risolvere la faccenda scrivendo che
spazio = velocità x tempo ----> moto rettilineo uniforme
ma siccome il moto è accelerato allora
spazio = (velocità x tempo) /2
devo giustamente dimostrare da dove proviene spazio = (velocità x tempo) /2
presto detto....
spazio =1/2 x accelerazione x t2
accelerazione = velocità / tempo
sostituendo accelerazione con (velocità / tempo)
otteniamo
spazio =(velocità x tempo) / 2 ------> moto accelerato
distanza1 = (4 x 106 x 1,25 x 10-9) / 2
distanza1 = 0,0025 metri = 2,5 millimetri
Purtroppo le distanze tra gli anelli non devono essere uguali perchè mano mano che lo ione avanza lui (poverino) diventa sempre più veloce, e diventando sempre più veloce succede che poi impiega meno tempo ad attraversare gli altri anelli acceleratori.
Finora ho calcolato distanza1 che è la distanza tra anodo e primo anello, poi c'è da calcolare la distanza2 che c'è fra il primo anello e il secondo, e cosi via fino ad arrivare al 25esimo anello.
Ad ogni anello gli ioni ricevono un incremento di velocità di 4 km/sec e il periodo è sempre quello cioè 1,25 x10-9
distanza2=((v1+v2) x tempo) / 2
distanza3=((v1+v1+v2) x tempo) / 2
eccetera eccetera
distanza1 = 2,5 millimetri
distanza2 = 5 millimetri
distanza3 = 7,5 millimetri
distanza4 = 10 millimetrii
distanza5 = 12,5 millimetri
distanza6 = 15 millimetri
distanza7 = 17,5 millimetri
distanza8 = 20 millimetri
distanza9 = 22,5 millimetri
distanza10 = 25 millimetri
distanza11 = 27,5 millimetri
distanza12 = 30 millimetri
distanza13 = 32,5 millimetri
distanza14 = 35,0 millimetri
distanza15 = 37,5 millimetri
distanza16 = 40,0 millimetri
distanza17 = 42,5 millimetri
distanza18 = 45,0 millimetri
distanza19 = 47,5 millimetri
distanza20 = 50 millimetri
distanza21 = 52,5 millimetri
distanza22 = 55,0 millimetri
distanza23 = 57,5 millimetri
distanza24 = 60,0 millimetri
distanza25 = 62,5 millimetri
Distanza totale = 812,5 millimetri
Il cilindro di vetro deve essere lungo 812,5 millimetri.
Edited by stranger - 12/3/2008, 12:17
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