TUTTE le equazioni del Circuito RC

Riddler · 18-07-2007 12:16

Buon giorno a tutti,

anche io sto "ragionando" su tali circuiti ... RC per il momento e le mie nozioni sulle equazioni differenziali ... sono ormai parecchio arruggiunite ...
ho deciso di presentare un altro tread in quanto le equazioni successive NON sono propriamente uguali a quelle utilizzate nel post
Discussione su circuiti RL e RC e NON volevo creare confusiuone ...

Partiamo con ordine ...

Sul libro su cui sto studiando Halliday è presentata la soluzione della carica nel condensatore dopo un "tot" di tempo, ma vorrei ricavare i vari passaggi per arrivare a tale soluzione.

Vorrei esporre a Voi i passagg ottenuti per verificarne la correttezza, ringraziandoVi anticipatamente e sperando di aver fornito materiale anche per gli altri ;-)

Obiettivo:

ottenere il risultato q=CE[1-e^(-T/RC)]
con q ---> carica del condensatore.

Il circuito è il solito RC serie con una "batteria" o f.e.m. ideale E

Cominciamo con l'inserire uguaglianze che utilizzeremo durante il progredire delle equazioni.
[1] i = dq/dt
[2] q = C * V ( dove C è la capacita del condensatore e V la differenza di potenziale del condensatore )
[3] dq = C * dV

Applicando la regola delle maglie percorrendo in senso orario o 2.do principio di Kirchoff otteniamo

E - iR - (q/C) = 0 sia q che i variano nel tempo

Applichiamo l' uguaglianza [1] i = dq/dt all'equazione ed otteniamo:

E - R*dq/dt - (q/C) = 0

Riordiniano in modo da avere a sinistra la differenze di potenziale sulle maglie del condensatore

(q/C) = E - R*dq/dt

Applichiamo ora l' uguaglianza [3] dq = C * dV ottenendo:

(q/C) = E - RC*dV/dt

Riordiniamo nuovamente

RC*dV/dt = E - (q/C)

ora moltiplico per dt/[E - (q/C)] ed otteniamo

RC* dV/[E - (q/C)] = dt

cambio di segno

-RC* dV/[(q/C) - E] = -dt

Ora visto che il condensatore passa da una differenze di potenziale 0 ad una di V quando è completamente carico,
integriamo tra 0 e V a sinistra e 0 e T a destra, cioè impiega un tempo T per caricarsi.

Per comprensione scrivo int per intendere il simbolo di integrale ( tra 0 e V a sinistra e 0 e T a destra )

-RC intdV/[(q/C) - E] = - intdt

Risolvendo

-RC * {ln [(q/c) - E ]} = T
calcolato fra 0 e V

[*** PUNTO 1 ***]
-RC * {ln [(q/c) - ln(E) ]} = -T

la differenza fra logaritmi è uguale al logaritmo del rapporto

-RC * ln{[(q/C)-E] / (-E)} = -T

-RC * ln{1- [(q/C) / E]} = - T

sapendo che ---> (q/C) / E = q/CE

ln[1- (q/CE)] = -T/RC

e^[ln[1- (q/CE)]] = e^(-T/RC)

[*** PUNTO 2 ***]
1- (q/CE) = e^ (-T/RC)

evidenziando q otteniamo proprio:

q=CE[1-e^(-T/RC)]

C.V.D.

Ora ... mi scuso anticipatamente per NON aver commentato proprio tutto ... ve l'ho detto sono un pò arrugginito ... e chedo scusa anche per qualche "strafalcio" ... spero siano pochi ... ma ho ritato fuori questo processo recuparando un pò da quallo che avevo ...

In particolare per dimenticanze mie proprio NON so dare spegazione a questi due punti:
[*** PUNTO 1 ***]
-RC * {ln [(q/c) - ln(E) ]} = -T

Il cambio di segno ... credo sia più che altro per avere successivamente una forma "più umana" del tutto ...
quindi un "trucchetto"

[*** PUNTO 2 ***]
1- (q/CE) = e^ (-T/RC)

Quì invece NON ricordo ... molto bene ... potrebbe essere la derivata del passaggio prima ?

Grazie anticipatamente a chi vorrà intervenire

Spero di aver fornito materiale utile

saluti

Riddler ?

18-07-2007 13:59

CITAZIONE (Riddler @ 18/7/2007, 13:16)

RC* dV/[E - (q/C)] = dt

cambio di segno

-RC* dV/[(q/C) - E] = -dt

Qui c'è un errore di segno. Al primo membro hai moltiplicato per -1 ed invertito il denominatore, quindi ... bastava così

.

CITAZIONE (Riddler @ 18/7/2007, 13:16)

-RC * ln{[(q/C)-E] / (-E)} = -T

e qui risbagli segno e così il risultato è OK!

CITAZIONE (Riddler @ 18/7/2007, 13:16)

[*** PUNTO 2 ***]
1- (q/CE) = e^ (-T/RC)

Quì invece NON ricordo ... molto bene ... potrebbe essere la derivata del passaggio prima ?

semplicemente una formula inversa, se ln y = x allora y = e^x

Ciao

Riddler · 19-07-2007 05:41

Scusate se ritorno solo ora ... ma ieri subito dopo aver postato ... ho dovuto scappare ... urgenza :-(

Grazie Steven per il controllo ;-)

QUOTE (StevenING @ 18/7/2007, 14:59)

QUOTE (Riddler @ 18/7/2007, 13:16)

RC* dV/[E - (q/C)] = dt

cambio di segno

-RC* dV/[(q/C) - E] = -dt

Qui c'è un errore di segno. Al primo membro hai moltiplicato per -1 ed invertito il denominatore, quindi ... bastava così

.

si scusate ... copiando dal foglio ho sbagliato io ...
sarebbe così

-RC* dV/[(q/C) - E] = dt

QUOTE (Riddler @ 18/7/2007, 13:16)

-RC * ln{[(q/C)-E] / (-E)} = -T

QUOTE (StevenING @ 18/7/2007, 14:59)

e qui risbagli segno e così il risultato è OK!

Anche quì avrebbe dovuto essere
-RC * ln{[(q/C)-E] / (-E)} = T

QUOTE (Riddler @ 18/7/2007, 13:16)

[*** PUNTO 2 ***]
1- (q/CE) = e^ (-T/RC)

Quì invece NON ricordo ... molto bene ... potrebbe essere la derivata del passaggio prima ?

QUOTE (StevenING @ 18/7/2007, 14:59)

semplicemente una formula inversa, se ln y = x allora y = e^x

Ciao

eh eh ... Vi avevo avvisato di essere MOLTO arrugginito ... le cose più semplici ... e uno NON ci pensa ... poi ieri ero particolarmente fuso ...

Quindi ricapitolando i passaggi, così da fornire "un qualcosa" di ordinato a chi cercherà in futuro ... dovrebbero essere

Uguaglianze che utilizzeremo durante il progredire delle equazioni.
[1] i = dq/dt
[2] q = C * V ( dove C è la capacita del condensatore e V la differenza di potenziale del condensatore )
[3] dq = C * dV

Applicando la regola delle maglie percorrendo in senso orario o 2.do principio di Kirchoff otteniamo

E - iR - (q/C) = 0 sia q che i variano nel tempo

Applichiamo l' uguaglianza [1] i = dq/dt all'equazione ed otteniamo:

E - R*dq/dt - (q/C) = 0

Riordiniano in modo da avere a sinistra la differenze di potenziale sulle maglie del condensatore

(q/C) = E - R*dq/dt

Applichiamo ora l' uguaglianza [3] dq = C * dV ottenendo:

(q/C) = E - RC*dV/dt

Riordiniamo nuovamente

RC*dV/dt = E - (q/C)

ora moltiplico per dt/[E - (q/C)] ed otteniamo

RC* dV/[E - (q/C)] = dt

cambio di segno ( moltiplico e divido per -1 ---> X * (-1/-1)

-RC* dV/[(q/C) - E] = dt

Ora visto che il condensatore passa da una differenze di potenziale 0 ad una di V quando è completamente carico,
integriamo tra 0 e V a sinistra e 0 e T a destra, cioè impiega un tempo T per caricarsi.

Per comprensione scrivo int per intendere il simbolo di integrale ( tra 0 e V a sinistra e 0 e T a destra )

-RC intdV/[(q/C) - E] = intdt

Risolvendo

-RC * {ln [(q/c) - E ]} = T
calcolato fra 0 e V

-RC * {ln [(q/c) - ln(E) ]} = T

la differenza fra logaritmi è uguale al logaritmo del rapporto

-RC * ln{[(q/C)-E] / (-E)} = T

-RC * ln{1- [(q/C) / E]} = T

sapendo che ---> (q/C) / E = q/CE

ln[1- (q/CE)] = -T/RC

e^[ln[1- (q/CE)]] = e^(-T/RC)

1- (q/CE) = e^ (-T/RC)

evidenziando q otteniamo proprio:

q=CE[1-e^(-T/RC)]

C.V.D.

Ora "dovrebbe essere tutto in ordine ... che ne dite?

saluti a tutti

P.S. ora andrebbe fare lo stesso ragionamento per la sua scarica ... ma E a quasto punto vale 0 quindi i vari passaggi si modificano un pò mantenendo la stessa filosofia.

OK? o ho detto una emerita ca@@ata?

Riddler ?

19-07-2007 09:06

Ho due considerazioni:
1) L'equazione dovrebbe essere espressa in V o in q. Espressioni miste sono poco comprensibili, soprattutto quando si deve integrare.

Per intenderci:

OK -RC* dV/[V - E] = dt o

NO -RC* dV/[(q/C) - E] = dt

2) Come già detto nell'altra discussione sui circuiti RL, se usi l'integrale indefinito ottieni l'espressione generica:

V-E=K*e^(-t/RC)

poi K te lo calcoli a seconda delle condizioni iniziali. A t=0 K=V-E

es. se V=0 per t=0 ottieni K=-E, da cui:

V=E(1-e^(-t/RC)) ovvero q=CE(1-e^(-t/RC))

Ciao

Riddler · 19-07-2007 09:33

QUOTE (StevenING @ 19/7/2007, 10:06)

Ho due considerazioni:
1) L'equazione dovrebbe essere espressa in V o in q.

il risultato finale lo vorrei in q come da risultato proposto dal libro che sto utilizzando
Fondamenti di Fisica ( Halliday, Resnik, Walker ) un librone di oltre 1300 pagine che
tratta argomenti a partire dalla meccanica, termodinamica, passando per le equazioni di Maxweel
fino ad arrivare all' ottica e la quantisctica ...

QUOTE (StevenING @ 19/7/2007, 10:06)

Espressioni miste sono poco comprensibili, soprattutto quando si deve integrare.

Per intenderci:

OK -RC* dV/[V - E] = dt o

NO -RC* dV/[(q/C) - E] = dt

si ho capito cosa intendi ... quindi meglio fare un passaggio con

-RC* dV/[V - E] = dt

risolvero integrando ed ottenendo
-RC * {ln [(V) - E ]} = T

a questo punto visto che q=CV ---> V=q/C
sostituisco ...

-RC * {ln [(q/c) - E ]} = T

e vado avanti ...
OK?

Grazie ancora

Riddler ?

19-07-2007 09:46

CITAZIONE (Riddler @ 19/7/2007, 10:33)

-RC * {ln [(q/c) - E ]} = T

Deve essere: -RC * {ln [(q/c) - E ]} = T + costante
NB: la costante è quella che ho chiamato K
Ciao

Riddler · 19-07-2007 09:53

QUOTE (StevenING @ 19/7/2007, 10:46)

QUOTE (Riddler @ 19/7/2007, 10:33)

-RC * {ln [(q/c) - E ]} = T

Deve essere: -RC * {ln [(q/c) - E ]} = T + costante
NB: la costante è quella che ho chiamato K
Ciao

Ma ... io avevo posto di utilizzare una integrazione definita ...

tra 0 e V a sinistra
tra 0 e T a destra ...

Se l'integrale e definito K non la metto, de gli integrali sono indefiniti da entrambe le parti allora ottengo K1 a sinistra e K2 a destra
che poi trovo imponento la situazione iniziale e finale.

giusto?

Riddler ?

19-07-2007 10:19

CITAZIONE (Riddler @ 19/7/2007, 10:33)

risolvero integrando ed ottenendo
-RC * {ln [(V) - E ]} = T

Se usi l'integrale definito sull'intervallo [0;V] e [0;T] allora sarà:

-RC * {ln [(V) - E ]-ln (-E)} = T (come avevi già trovato prima)

Se usi l'integrale indefinito allora sarà:

-RC * ln [V - E ] + K1 = T + K2

ma

-RC * ln [V - E ] = T + K2 - K1

ovvero

-RC * ln [V - E ] = T + cost.

Ciao

Riddler · 19-07-2007 10:31

QUOTE (StevenING @ 19/7/2007, 11:19)

QUOTE (Riddler @ 19/7/2007, 10:33)

risolvero integrando ed ottenendo
-RC * {ln [(V) - E ]} = T

Se usi l'integrale definito sull'intervallo [0;V] e [0;T] allora sarà:

-RC * {ln [(V) - E ]-ln (-E)} = T (come avevi già trovato prima)

Se usi l'integrale indefinito allora sarà:

-RC * ln [V - E ] + K1 = T + K2

ma

-RC * ln [V - E ] = T + K2 - K1

ovvero

-RC * ln [V - E ] = T + cost.

Ciao

Sì sì

NON fa una piega ^_^

Avevo capito che poi K1 e K2 messe assieme davano oriogine ad una costante unica che le inglobasse.

Ma preferisco stabilire i valori per cui sto facendo lo studio cioè
- il condensatore parte scarico e raggiunge una differenze di potenziale V
- il tempo impiegato a caricarsi è T

Se le condizioni iniziali dovessero essere diverse all'ora diventa MOLTO utile passare atraverso la soluzione con gli integrali indefiniti in modo da essere più elastici.

Per ora grazie di tutto, magari posterò ancora :sick: