Discussione su circuiti RL e RC

[Lilian87]

Cao a tutti on Lilian87 e mi chiedevo se qualcuno di voi può darmi una mano con le equazioni differenziali che riguardano i circuiti RL e RC:

Per i circuiti RL (nei miei appunti ) si ricava che E = Vr + Vl ---> E = ( R * i ) + [ L * ( di/dt ) ] e fino a qui, niente di anomalo....... poi scrivendo l'equazione di Kirkhoff ricavo :

E - [ L * ( di/dt ) ] = ( R * i ) ---> poi i passaggi del prof diventano un po' strani ....... (per me)

invece per i circuiti RC ricavo che E = Vr + Vc ---> e poi mi blocco......

Se esiste una persona, dotata di molta pazienza, che mi aiuti a capire queste equazioni differenziali per trovare la extracorrente di chiusura e la extracorrente di apertura, beh ...... si faccia avanti ..... please

Ciao,
trovi un valido ripasso ai tuoi appunti qui: http://www2.polito.it/ricerca/cadema/repetto/capitolo7.swf

[Lilian87]

Grazie ma su questo sito ci sono già stata e nn è quello che cerco......

[Lilian87]

Comunque sono riuscita ad andare un po' avanti...........


E = L di / dt + R i -----> dividendo tutto per L ottengo

E / L = di / dt + R / L -----> sapendo che L/R = (tau) allora R/L sarà = 1/(tau) ; quindi

E / L = di / dt + i / (tau) ------> e ora mi sono bloccata nuovamente


E per i circuiti RC arrivo allo stesso punto:


E = Vr + Vc ----> sapendo che i = C * [ dVc / dt ]

E = R i + Vc ----> sostituisco l'espressione di i

E = R C [ dVc / dt ] + Vc ----> divido tutto per RC e trovo

E / RC = [ dVc / dt ] + Vc / RC ----> sapendo RC = (tau)

E / (tau) = [ dVc / dt ] + Vc / (tau) ----> e ora ? ........... help!!!

comincia dall'equazione differenziale
dx(t)/dt=Ax(t)+B
che ha soluzione
x(t)=K*e^At - B/A
K la ricavi dalle condizioni iniziali
Ciao

[Lilian87]

HO TROVATO TUTTI I PASSAGGI MA NON LI CAPISCO CHI ME LI PUO' SPIEGARE PLEASE........


questi sono i passaggi :

CODICE

.              
                             di
 E  =  R   i  +   L   -----    
                             dt


    di               1  
---------  =   ------  dt      
 E - R i            L


 d ( E - R i )            R
-------------- =   -   ----- dt  
    E - R i                 L


  | i                                                      | t
  |      d  ( E - R i )                 R             |
  |    ------------------     =   - --------       |   dt
  |          E  - R i                   L               |
  | 0                                                     | 0

N.B. Le righette verticali rappresento il simbolo di integrale

Ma non capisci i passaggi matematici o il significato elettrotecnico?

[Lilian87]

Non capisco i passaggi matematici.......
potresti spiegarmeli......

non capisco precisamente questo : di / E - R i = dt / L ---------> d( E - R i ) / E - R i = ( - R / L ) dt

come fa " i " ad essere sostituita da " E - R i " ....... scusa ma la derivata di " i " nn è uguale a " dQ / dt "?????

te ne sarei grata eternamente........

Edited by Lilian87 - 10/7/2007, 17:45

Francamente questo passaggio è inutile, e capisco possa creare confusione. Io lo avrei evitato...
Comunque per avere d(E-Ri)/(E-Ri) che è facilmente integrabile ( =ln(E-Ri) + cost.), hanno considerato d(E-Ri)=-Rdi .
Quindi hanno sostituito di con d(E-Ri)/(-R). Infatti ti ritrovi -R/L nell'altro membro dell'equazione. Prima avevi 1/L.

Aaaah .... ora mi godo la tua riconoscenza eterna!
Ciao

[Lilian87]

nn mi è molto chiaro questo passaggio, cioè hanno considerato la derivata di ( E - R i ) uguale a - R per la derivata di i ....... mah, cmq ora riprovo a sostituire questa d i ......
se nn ti è di troppo disturbo mi daresti una mano anche con questa:

E = R i + Q/C ----> E = R ( dQ / dt ) + Q/C -----> E - ( Q/C ) = R (dQ / dt ) ----> dQ / C ( E - Q )= dt /RC

CITAZIONE (Lilian87 @ 10/7/2007, 20:00)

hanno considerato la derivata di ( E - R i ) uguale a - R per la derivata di i ....... mah

Guarda che è più semplice di quello che sembra (con E e R costanti però!). In generale d(Ax+B)=d(Ax)+d(B)=Adx+0=Adx con A e B costanti

CITAZIONE (Lilian87 @ 10/7/2007, 20:00)

E = R i + Q/C ----> E = R ( dQ / dt ) + Q/C -----> E - ( Q/C ) = R (dQ / dt ) ----> dQ / C ( E - Q )= dt /RC

E' sempre la stessa cosa:

pensa al caso generale: dx/(Ax+B) integrato dà ln(Ax+B)/A + cost.

ciao

[Lilian87]

ah è vero, nn avevo pensato ke E ed R erano costanti........
OK GRAZIE MILLE!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
SMACK SMACK SMACK

[Lawrence]

Ecco perchè sono andato a studiare all'estero...

Cambia prof dai retta...
Ma ti pare il modo di insegnare quello...
Senti il Genco, dai retta, che è meglio...
Un consiglio da chi ci è passato prima. Trovati qualche libro di testo serio in lingua, cerca prima di capire immaginativamente o anche meglio dalla realtà delle misure cosa stai modellando e poi risolvi con il calcolo differenziale.
Non so quanto sia corretto il passaggio di cui sopra in quanto di/dt indica la variazione della corrente in funzione del tempo e sinceramente trattarli come semplici termini di un'equazione di primo grado mi lascia perplesso.
Inoltre è importante capire che si sta trattando con costanti, come diceva giustamente Stevening, R è costante e L pure, ma tensione E=Ri è un termine realte mentre la Ldi/dt è un termine immaginario. Quindi termini non esattamente omogenei. Che in alcuni casi questo possa portare ad un risultato corretto non significa che l'impostazione del modello sia corretta in toto.
Forse questo link ti può aiutare un pò, io non riesco ad essere più chiaro di così.

Circuiti RL

E poi vorrei sapere (ma già lo so) per quale motivo l'approccio anglosassone è diverso e forse questo ti può aiutare di più.

Ancora RL

Scusa Lawrence, ma scrivendo così confondi Lilian ancora di più.
L'equazione differenziale è un ottimo modello che può darti soluzioni (numeriche ) con qualunque segnale e parametri variabili.
L'ipotesi di L, R costante è una semplificazione per poter risolvere l'equazione in forma simbolica e capire il significato di R/L e l'andamento esponenziale.
Ldi/dt NON è immaginario!! Lo sarà l'impedenza di un induttore (nell'ipotesi di utilizzare i fasori, cioè di lavorare in frequenza), ma è un discorso diverso.
Ciao

[Wechselstrom]

i(t) è funzione reale di variabile reale, quindi analogamente lo sarà anche la di(t)/dt. Se L·di/dt fosse puramente Im, allora si dovrebbe separare l'eq. rispettivamente nella sua parte Re e parte Im e risolvere il sistema così ottenuto. Ma non è questo il caso.

[Lilian87]

Intanto grazie Lawrence, il link di wikipedia lo avevo già visto, però credo che darò un'okkiata anche al secondo(quello in inglese) mi è sembrato che tratti l'argomento in maniera un po' diversa..........

Invece StevenING ( lo so che sono una gran rompi pxxxe !!!!! ) l'equazioni allora diventa così:



di / E - R i = dt / L -----> sostituisco di con [ - R ] ------> ln | E - R i | / - R = ( 1 / L ) ( dt ) ----> moltiplicando da entrambe le parti per -R

avremo ----> ln | E - R i | = ( - R / L ) dt

Non proprio ....
Devi integrare da entrambe le parti:
ln ( E - R i ) +cost. = (-R / L ) t + cost.
vai avanti tu ora ... ci sei quasi!
Ciao

[Lilian87]

pero' ora, guardando il libro, c'è scritto:

integrando tra gli estremi t = 0 , i = 0 e t , i avremo come risultato

E - R i / E = e ^ -(R/L) t ????

nn mi è molto chiaro !!!

puoi fare in due modi:
con l'integrale definito (con gli estremi che indichi tu come condizioni iniziali):

ln(E-Ri)-ln(E-R*0)=-(R/L)t+(R/L)*0

ln[(E-Ri)/E]=-(R/L)t

(E-Ri)/E=e^-(R/L)t

E-Ri=E*e^-(R/L)t

oppure integrale indefinito:

ln ( E - R i ) +cost. = (-R / L ) t + cost

E-Ri=e^-(R/L)t+cost.

E-Ri=K*e^-(R/L)t con K costante da calcolare alle condizioni iniziali

per t=0 i=0 allora E-R*0=K*1 e quindi K=E (come sopra con il primo metodo)

Il secondo metodo è molto più pratico a mio avviso, anche perchè potresti avere altre condizioni iniziali
Ciao

Ciao lilian, ho fatto una simulazione numerica per alcuni valori di L ipotizzando una tensione in ingresso con un picco parabolico. Potresti provare a farlo a mano come esercizio....
Ecco il risultato:


Attached Image

[Lilian87]

Ma per il circuito RC il procedimento è lo stesso???

xchè sono arrivata a questo punto E - Q / C = R dQ / dt e nn capisco come hanno fatto a fare questo

dQ / C E - Q = 1 / RC dt ........... nn capisco, la C come fa a trovarsi vicino la E e vicino la R ????

[Lawrence]

Non è mia intenzione confondere le idee a nessuno, ma ho qualche dubbio se mi consentite.
Se parliamo di regime statico l'induttanza della bobina è zero. Un semplice corto circuito in parallelo ad una resistenza attraverso la quale non passa alcuna corrente e ai cui capi non vi è nessuna tensione. E su questo non credo ci sia modo di discutere a meno che non ci siano novità che non conosco.

Se abbiamo una variazione dello stato delle cose, cioè se abbiamo che di/dt sia diverso da zero, allora l'impedenza comincia ad avere un senso nel discorso. Ma a regime di corrente e/o tensione variabile l'induttanza in un circuito puramente teorico come quello ipotizzato ha un senso. Stiamo parlando di frequenze eccome, dal momento che abbiamo introdotto un disturbo o una variazione di dv/dt questa ha la conseguenza di variare la di/dt. La fase delle due grandezze varia e per questo che sto parlando di incongruenza tra la parte resistiva e quella induttiva. Ecco perchè si usa ovunque scrivere delle equazioni vettoriali del tipo:

V(t)=R·i+i L·di/dt

Ma, bisognerebbe partire da un circuito reale dove R e L sono in serie ed il generatore della tensione variabile che introduce il disturbo li alimenta. Quello che contestavo al sistema educativo, è che vengono sempre impiegati esempi sconcertanti di circuiti RL o RC o di altri tipi dove si suppone questo e quello senza che la supposizione abbia un senso. Forse è quì che stanno le divergenze parallele


Forse ancora quest'esempio può aiutare?

Induttanza

Stiamo parlando di transitori. La L è sempre reale e vale l'equazione differenziale indicata prima.
Non parliamo di impedenza (Z=jwL) e di fasori.
V(t)=R·i+i L·di/dt
La i cosa rappresenta? la parte immaginaria o una corrente? In entrambi i casi l'espressione è comunque sbagliata.
Il discorso della variazione di fase è evidente nei miei grafici, anche se solo per un picco parabolico. Si può vedere infatti un accenno di sfasamento (tensione/corrente).
Ciao

[Lilian87]

CITAZIONE (Lilian87 @ 11/7/2007, 15:22)

Ma per il circuito RC il procedimento è lo stesso???

xchè sono arrivata a questo punto E - Q / C = R dQ / dt e nn capisco come hanno fatto a fare questo

dQ / C E - Q = 1 / RC dt ........... nn capisco, la C come fa a trovarsi vicino la E e vicino la R ????