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Visualizza la versione completa : TUTTE le equazioni del Circuito RC



Riddler
18-07-2007, 12:16
Buon giorno a tutti,<br><br>anche io sto &quot;ragionando&quot; su tali circuiti ... RC per il momento e le mie nozioni sulle equazioni differenziali ... sono ormai parecchio arruggiunite ...<br>ho deciso di presentare un altro tread in quanto le equazioni successive NON sono propriamente uguali a quelle utilizzate nel post<br><a href="http://energierinnovabili.forumcommunity.net/?t=7609914" target="_blank">Discussione su circuiti RL e RC</a> e NON volevo creare confusiuone ...<br><br>Partiamo con ordine ...<br><br>Sul libro su cui sto studiando Halliday è presentata la soluzione della carica nel condensatore dopo un &quot;tot&quot; di tempo, ma vorrei ricavare i vari passaggi per arrivare a tale soluzione.<br><br>Vorrei esporre a Voi i passagg ottenuti per verificarne la correttezza, ringraziandoVi anticipatamente e sperando di aver fornito materiale anche per gli altri ;-)<br><br>Obiettivo:<br><br>ottenere il risultato q=CE[1-e^(-T/RC)]<br>con q ---&#62; carica del condensatore.<br><br>Il circuito è il solito RC serie con una &quot;batteria&quot; o f.e.m. ideale E<br><br>Cominciamo con l&#39;inserire uguaglianze che utilizzeremo durante il progredire delle equazioni.<br>[1] i = dq/dt<br>[2] q = C * V ( dove C è la capacita del condensatore e V la differenza di potenziale del condensatore )<br>[3] dq = C * dV<br><br>Applicando la regola delle maglie percorrendo in senso orario o 2.do principio di Kirchoff otteniamo<br><br>E - iR - (q/C) = 0 sia q che i variano nel tempo<br><br>Applichiamo l&#39; uguaglianza [1] i = dq/dt all&#39;equazione ed otteniamo:<br><br>E - R*dq/dt - (q/C) = 0<br><br>Riordiniano in modo da avere a sinistra la differenze di potenziale sulle maglie del condensatore<br><br>(q/C) = E - R*dq/dt<br><br>Applichiamo ora l&#39; uguaglianza [3] dq = C * dV ottenendo:<br><br>(q/C) = E - RC*dV/dt<br><br>Riordiniamo nuovamente<br><br>RC*dV/dt = E - (q/C)<br><br>ora moltiplico per dt/[E - (q/C)] ed otteniamo<br><br>RC* dV/[E - (q/C)] = dt<br><br>cambio di segno<br><br>-RC* dV/[(q/C) - E] = -dt<br><br>Ora visto che il condensatore passa da una differenze di potenziale 0 ad una di V quando è completamente carico,<br>integriamo tra 0 e V a sinistra e 0 e T a destra, cioè impiega un tempo T per caricarsi.<br><br>Per comprensione scrivo <b>int</b> per intendere il simbolo di integrale ( tra 0 e V a sinistra e 0 e T a destra )<br><br>-RC <b>int</b>dV/[(q/C) - E] = - <b>int</b>dt<br><br>Risolvendo<br><br>-RC * {ln [(q/c) - E ]} = T<br>calcolato fra 0 e V<br><br>[*** PUNTO 1 ***]<br>-RC * {ln [(q/c) - ln(E) ]} = -T<br><br>la differenza fra logaritmi è uguale al logaritmo del rapporto<br><br>-RC * ln{[(q/C)-E] / (-E)} = -T<br><br>-RC * ln{1- [(q/C) / E]} = - T<br><br>sapendo che ---&#62; (q/C) / E = q/CE<br><br>ln[1- (q/CE)] = -T/RC<br><br>e^[ln[1- (q/CE)]] = e^(-T/RC)<br><br>[*** PUNTO 2 ***]<br> 1- (q/CE) = e^ (-T/RC)<br><br>evidenziando q otteniamo proprio:<br><br>q=CE[1-e^(-T/RC)]<br><br>C.V.D.<br><br>Ora ... mi scuso anticipatamente per NON aver commentato proprio tutto ... ve l&#39;ho detto sono un pò arrugginito ... e chedo scusa anche per qualche &quot;strafalcio&quot; ... spero siano pochi ... ma ho ritato fuori questo processo recuparando un pò da quallo che avevo ...<br><br>In particolare per dimenticanze mie proprio NON so dare spegazione a questi due punti:<br>[*** PUNTO 1 ***]<br>-RC * {ln [(q/c) - ln(E) ]} = -T<br><br>Il cambio di segno ... credo sia più che altro per avere successivamente una forma &quot;più umana&quot; del tutto ...<br>quindi un &quot;trucchetto&quot;<br><br><br>[*** PUNTO 2 ***]<br> 1- (q/CE) = e^ (-T/RC)<br><br>Quì invece NON ricordo ... molto bene ... potrebbe essere la derivata del passaggio prima ? <img src="http://codeandmore.com/vbbtest/images/customimages/7aac7c285344b63578be1c84ff3f4081.gif" alt=":("><br><br><br>Grazie anticipatamente a chi vorr&agrave; intervenire<br><br>Spero di aver fornito materiale utile<br><br>saluti<br><br><br>Riddler ?

18-07-2007, 13:59
<div align="center"><div class="quote_top" align="left"><b>CITAZIONE</b> (Riddler @ 18/7/2007, 13:16)</div><div id="quote" align="left">RC* dV/[E - (q/C)] = dt<br><br>cambio di segno<br><br>-RC* dV/[(q/C) - E] = <b>-</b>dt</div></div><br>Qui c&#39;è un errore di segno. Al primo membro hai moltiplicato per -1 ed invertito il denominatore, quindi ... bastava così <img src="http://codeandmore.com/vbbtest/images/customimages/9147c788e25be5fca065bb061ef76a5c.gif" alt=":)">.<br><br><div align="center"><div class="quote_top" align="left"><b>CITAZIONE</b> (Riddler @ 18/7/2007, 13:16)</div><div id="quote" align="left">-RC * ln{[(q/C)-E] / (<b>-</b>E)} = -T</div></div><br>e qui risbagli segno e così il risultato è OK&#33;<br><div align="center"><div class="quote_top" align="left"><b>CITAZIONE</b> (Riddler @ 18/7/2007, 13:16)</div><div id="quote" align="left">[*** PUNTO 2 ***]<br> 1- (q/CE) = e^ (-T/RC)<br><br>Quì invece NON ricordo ... molto bene ... potrebbe essere la derivata del passaggio prima ? <img src="http://codeandmore.com/vbbtest/images/customimages/d0f349bd53f740cfe7a02beb9080025c.gif" alt=":("></div></div><br>semplicemente una formula inversa, se <i>ln y = x</i­> allora <i>y = e<sup>x</sup></i><br><br>Ciao

Riddler
19-07-2007, 05:41
<br>Scusate se ritorno solo ora ... ma ieri subito dopo aver postato ... ho dovuto scappare ... urgenza :-(<br><br><br>Grazie Steven per il controllo ;-)<br><br><div align="center"><div class="quote_top" align="left"><b>QUOTE</b> (StevenING @ 18/7/2007, 14:59)</div><div id="quote" align="left"><div align="center"><div class="quote_top" align="left"><b>QUOTE</b> (Riddler @ 18/7/2007, 13:16)</div><div id="quote" align="left">RC* dV/[E - (q/C)] = dt<br><br>cambio di segno<br><br>-RC* dV/[(q/C) - E] = <b>-</b>dt</div></div><br>Qui c&#39;è un errore di segno. Al primo membro hai moltiplicato per -1 ed invertito il denominatore, quindi ... bastava così <img src="http://codeandmore.com/vbbtest/images/customimages/415ffbf1d2ab7af762f8fc44ac8637ca.gif" alt=":)">.</div></div><br>si scusate ... copiando dal foglio ho sbagliato io ...<br>sarebbe così<br><br>-RC* dV/[(q/C) - E] = dt<br><br><br><div align="center"><div class="quote_top" align="left"><b>QUOTE</b> (Riddler @ 18/7/2007, 13:16)</div><div id="quote" align="left">-RC * ln{[(q/C)-E] / (<b>-</b>E)} = -T</div></div><br><div align="center"><div class="quote_top" align="left"><b>QUOTE</b> (StevenING @ 18/7/2007, 14:59)</div><div id="quote" align="left">e qui risbagli segno e così il risultato è OK&#33;</div></div><br>Anche quì avrebbe dovuto essere<br>-RC * ln{[(q/C)-E] / (-E)} = T<br><br><div align="center"><div class="quote_top" align="left"><b>QUOTE</b> (Riddler @ 18/7/2007, 13:16)</div><div id="quote" align="left">[*** PUNTO 2 ***]<br> 1- (q/CE) = e^ (-T/RC)<br><br>Quì invece NON ricordo ... molto bene ... potrebbe essere la derivata del passaggio prima ? <img src="http://codeandmore.com/vbbtest/images/customimages/dd7c1f809d64abefb745d671b366777b.gif" alt=":("></div></div><br><div align="center"><div class="quote_top" align="left"><b>QUOTE</b> (StevenING @ 18/7/2007, 14:59)</div><div id="quote" align="left">semplicemente una formula inversa, se <i>ln y = x</i­> allora <i>y = e<sup>x</sup></i><br><br>Ciao</div></div><br>eh eh ... Vi avevo avvisato di essere MOLTO arrugginito ... le cose più semplici ... e uno NON ci pensa ... poi ieri ero particolarmente fuso ...<br><br>Quindi ricapitolando i passaggi, così da fornire &quot;un qualcosa&quot; di ordinato a chi cercher&agrave; in futuro ... dovrebbero essere<br><br><br>Uguaglianze che utilizzeremo durante il progredire delle equazioni.<br>[1] i = dq/dt<br>[2] q = C * V ( dove C è la capacita del condensatore e V la differenza di potenziale del condensatore )<br>[3] dq = C * dV<br><br>Applicando la regola delle maglie percorrendo in senso orario o 2.do principio di Kirchoff otteniamo<br><br>E - iR - (q/C) = 0 sia q che i variano nel tempo<br><br>Applichiamo l&#39; uguaglianza [1] i = dq/dt all&#39;equazione ed otteniamo:<br><br>E - R*dq/dt - (q/C) = 0<br><br>Riordiniano in modo da avere a sinistra la differenze di potenziale sulle maglie del condensatore<br><br>(q/C) = E - R*dq/dt<br><br>Applichiamo ora l&#39; uguaglianza [3] dq = C * dV ottenendo:<br><br>(q/C) = E - RC*dV/dt<br><br>Riordiniamo nuovamente<br><br>RC*dV/dt = E - (q/C)<br><br>ora moltiplico per dt/[E - (q/C)] ed otteniamo<br><br>RC* dV/[E - (q/C)] = dt<br><br>cambio di segno ( moltiplico e divido per -1 ---&#62; X * (-1/-1)<br><br>-RC* dV/[(q/C) - E] = dt<br><br>Ora visto che il condensatore passa da una differenze di potenziale 0 ad una di V quando è completamente carico,<br>integriamo tra 0 e V a sinistra e 0 e T a destra, cioè impiega un tempo T per caricarsi.<br><br>Per comprensione scrivo <b>int</b> per intendere il simbolo di integrale ( tra 0 e V a sinistra e 0 e T a destra )<br><br>-RC <b>int</b>dV/[(q/C) - E] = <b>int</b>dt<br><br>Risolvendo<br><br>-RC * {ln [(q/c) - E ]} = T<br>calcolato fra 0 e V<br><br>-RC * {ln [(q/c) - ln(E) ]} = T<br><br>la differenza fra logaritmi è uguale al logaritmo del rapporto<br><br>-RC * ln{[(q/C)-E] / (-E)} = T<br><br>-RC * ln{1- [(q/C) / E]} = T<br><br>sapendo che ---&#62; (q/C) / E = q/CE<br><br>ln[1- (q/CE)] = -T/RC<br><br>e^[ln[1- (q/CE)]] = e^(-T/RC)<br><br> 1- (q/CE) = e^ (-T/RC)<br><br>evidenziando q otteniamo proprio:<br><br>q=CE[1-e^(-T/RC)]<br><br>C.V.D.<br><br><br>Ora &quot;dovrebbe essere tutto in ordine ... che ne dite?<br><br>saluti a tutti<br><br>P.S. ora andrebbe fare lo stesso ragionamento per la sua scarica ... ma E a quasto punto vale 0 quindi i vari passaggi si modificano un pò mantenendo la stessa filosofia.<br><br>OK? o ho detto una emerita ca@@ata? <img src="http://codeandmore.com/vbbtest/images/customimages/445f7aad679762f525b1854d629a4c7c.gif" alt=":wacko:"><br><br><br>Riddler ?

19-07-2007, 09:06
Ho due considerazioni:<br>1) L&#39;equazione dovrebbe essere espressa in V o in q. Espressioni miste sono poco comprensibili, soprattutto quando si deve integrare.<br><br>Per intenderci:<br><br>OK -RC* dV/[V - E] = dt o<br><br>NO -RC* dV/[(q/C) - E] = dt<br><br><br>2) Come gi&agrave; detto nell&#39;altra discussione sui circuiti RL, se usi l&#39;integrale indefinito ottieni l&#39;espressione generica:<br><br>V-E=K*e^(-t/RC)<br><br>poi K te lo calcoli a seconda delle condizioni iniziali. A t=0 K=V-E<br><br>es. se V=0 per t=0 ottieni K=-E, da cui:<br><br>V=E(1-e^(-t/RC)) ovvero q=CE(1-e^(-t/RC))<br><br><br>Ciao<br>

Riddler
19-07-2007, 09:33
<div align="center"><div class="quote_top" align="left"><b>QUOTE</b> (StevenING @ 19/7/2007, 10:06)</div><div id="quote" align="left">Ho due considerazioni:<br>1) L&#39;equazione dovrebbe essere espressa in V o in q.</div></div><br>il risultato finale lo vorrei in q come da risultato proposto dal libro che sto utilizzando<br>Fondamenti di Fisica ( Halliday, Resnik, Walker ) un librone di oltre 1300 pagine che<br>tratta argomenti a partire dalla meccanica, termodinamica, passando per le equazioni di Maxweel<br>fino ad arrivare all&#39; ottica e la quantisctica ...<br><br><div align="center"><div class="quote_top" align="left"><b>QUOTE</b> (StevenING @ 19/7/2007, 10:06)</div><div id="quote" align="left">Espressioni miste sono poco comprensibili, soprattutto quando si deve integrare.<br><br>Per intenderci:<br><br>OK -RC* dV/[V - E] = dt o<br><br>NO -RC* dV/[(q/C) - E] = dt</div></div><br>si ho capito cosa intendi ... quindi meglio fare un passaggio con<br><br>-RC* dV/[V - E] = dt<br><br>risolvero integrando ed ottenendo<br>-RC * {ln [(V) - E ]} = T<br><br>a questo punto visto che q=CV ---&#62; V=q/C<br>sostituisco ...<br><br>-RC * {ln [(q/c) - E ]} = T<br><br>e vado avanti ...<br>OK?<br><br>Grazie ancora<br><br><br>Riddler ?

19-07-2007, 09:46
<div align="center"><div class="quote_top" align="left"><b>CITAZIONE</b> (Riddler @ 19/7/2007, 10:33)</div><div id="quote" align="left">-RC * {ln [(q/c) - E ]} = T</div></div><br>Deve essere: -RC * {ln [(q/c) - E ]} = T <b>+ costante </b><br>NB: la costante è quella che ho chiamato K<br>Ciao

Riddler
19-07-2007, 09:53
<div align="center"><div class="quote_top" align="left"><b>QUOTE</b> (StevenING @ 19/7/2007, 10:46)</div><div id="quote" align="left"><div align="center"><div class="quote_top" align="left"><b>QUOTE</b> (Riddler @ 19/7/2007, 10:33)</div><div id="quote" align="left">-RC * {ln [(q/c) - E ]} = T</div></div><br>Deve essere: -RC * {ln [(q/c) - E ]} = T <b>+ costante </b><br>NB: la costante è quella che ho chiamato K<br>Ciao</div></div><br>Ma ... io avevo posto di utilizzare una integrazione definita ...<br><br>tra 0 e V a sinistra<br>tra 0 e T a destra ...<br><br>Se l&#39;integrale e definito K non la metto, de gli integrali sono indefiniti da entrambe le parti allora ottengo K1 a sinistra e K2 a destra<br>che poi trovo imponento la situazione iniziale e finale.<br><br>giusto?<br><br><br><br><br>Riddler ?

19-07-2007, 10:19
<div align="center"><div class="quote_top" align="left"><b>CITAZIONE</b> (Riddler @ 19/7/2007, 10:33)</div><div id="quote" align="left">risolvero integrando ed ottenendo<br>-RC * {ln [(V) - E ]} = T</div></div><br>Se usi l&#39;integrale definito sull&#39;intervallo [0;V] e [0;T] allora sar&agrave;:<br><br>-RC * {ln [(V) - E ]-<b>ln (-E)</b>} = T (come avevi gi&agrave; trovato prima)<br><br>Se usi l&#39;integrale indefinito allora sar&agrave;:<br><br>-RC * ln [V - E ] + K1 = T + K2<br><br>ma<br><br>-RC * ln [V - E ] = T + K2 - K1<br><br>ovvero<br><br>-RC * ln [V - E ] = T + cost. <img src="http://codeandmore.com/vbbtest/images/customimages/44e7ded2556f0cbc2ffaf244de47f828.gif" alt=":)"><br><br>Ciao

Riddler
19-07-2007, 10:31
<div align="center"><div class="quote_top" align="left"><b>QUOTE</b> (StevenING @ 19/7/2007, 11:19)</div><div id="quote" align="left"><div align="center"><div class="quote_top" align="left"><b>QUOTE</b> (Riddler @ 19/7/2007, 10:33)</div><div id="quote" align="left">risolvero integrando ed ottenendo<br>-RC * {ln [(V) - E ]} = T</div></div><br>Se usi l&#39;integrale definito sull&#39;intervallo [0;V] e [0;T] allora sar&agrave;:<br><br>-RC * {ln [(V) - E ]-<b>ln (-E)</b>} = T (come avevi gi&agrave; trovato prima)<br><br>Se usi l&#39;integrale indefinito allora sar&agrave;:<br><br>-RC * ln [V - E ] + K1 = T + K2<br><br>ma<br><br>-RC * ln [V - E ] = T + K2 - K1<br><br>ovvero<br><br>-RC * ln [V - E ] = T + cost. <img src="http://codeandmore.com/vbbtest/images/customimages/ec86b3038227b2add65cbf3dad87c4c8.gif" alt=":)"><br><br>Ciao</div></div><br>Sì sì <img src="http://codeandmore.com/vbbtest/images/customimages/9639f55ce0db295adac3d0b6455eabe0.gif" alt=":D"><br><br>NON fa una piega <img src="http://codeandmore.com/vbbtest/images/customimages/7986d1baec8a5f2f25c755574bfa4d0c.gif" alt="^_^"><br><br>Avevo capito che poi K1 e K2 messe assieme davano oriogine ad una costante unica che le inglobasse.<br><br>Ma preferisco stabilire i valori per cui sto facendo lo studio cioè<br>- il condensatore parte scarico e raggiunge una differenze di potenziale V<br>- il tempo impiegato a caricarsi è T<br><br>Se le condizioni iniziali dovessero essere diverse all&#39;ora diventa MOLTO utile passare atraverso la soluzione con gli integrali indefiniti in modo da essere più elastici.<br><br>Per ora grazie di tutto, magari posterò ancora <img src="http://codeandmore.com/vbbtest/images/customimages/d77506f19b998470478ee35e8585c521.gif" alt=":sick:"><br><br>A presto e buona giornata<br><br><br>Riddler ?<br>

19-07-2007, 10:32
Buona giornata anche a te&#33;

Riddler
19-07-2007, 10:51
<div align="center"><div class="quote_top" align="left"><b>QUOTE</b> (StevenING @ 19/7/2007, 11:32)</div><div id="quote" align="left">Buona giornata anche a te&#33;</div></div><br>ri-graSSSie&#33;<br> <img src="http://codeandmore.com/vbbtest/images/customimages/0d13f9acdf22b2c4d812cc639ce3e4ca.gif" alt="^_^">