Problema di Matematica/Fisica

[clash4]

Salve a tutti vorrei chiedervi un aiuto su come risolvere senza l'uso di software questo problema.
Premetto che devo calcolare a che distanza dalla sonda geotermica verticale la temperatura cala in 24 ore, considerando un andamento sinusoidale periodico dell'assorbimento da parte della sonda. Questo è utile per vedere a che distanza mettere 2 sonde. Una volta risolto sposterò la discussione in geotermia, ma per ora rimane un esercizio di matematica.

Premetto alcune cose:
Considerare un regime periodico stabilizzato
Probabilmente si dovrà determinare l'integrale particolare x un corpo seminfinito.
L'eq di partenza è quella di fourier:



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[clash4]

Ho provato a risolverlo facendo riferimento ad un corpo seminfinito, modello molto usato nei transitori termici riguardanti corpi come il terreno. In particolare x la sonda affogata nel terreno, all’interno della quale si ha un moto convettivo forzato e quindi caratterizzato da valori dei coeff. piuttosto elevati, i quali danno luogo a condizioni al contorno del primo tipo.
Ho considerato quindi un transitorio a gradino, vedendo cosa accade nei primi metri circostanti la sonda.
Ho adimensionalizzato la temperatura e mediante l'Error Function (erf) di Gauss ho ottenuto:

assumendo:


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[clash4]

E questo è il grafico: Cosa ne pensate può essere giusto risolverlo così?

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[Ospite]

Ciao Clash4,
io ho risolto così:
partendo dall'eq. ðw/ðt = a·ð²w/ðx², con dominio 0 <= x < +inf,

dove il carattere ð denota l'operatore di derivata parziale, w = w(x, t) è il campo scalare di temperatura e a è la conduttività termica in W/(m·°K);
poi impongo le condizioni al contorno da te specificate (condizioni al contorno del I tipo), cioè
w(x, 0) = T₀ = temperatura della "superficie laterale" della sonda
w(0, t) = T_e = temperatura dell'estremità x=0 della sonda.
Per separazione delle variabili si trova la soluzione:

w(x, t) = T₀·erf[x/(2·Sqrt(a·t))] + T_e·erfc[x/(2·Sqrt(a·t))]

[Ospite]

Allora ho fatto il grafico di
w(x,t=86.400s) = 14·erf[x/(2·Sqrt(1,5·10^-6·86.400))] - 2·erfc[x/(2·Sqrt(1,5·10^-6·86.400))]


Ciao ">

[clash4]

Grazie wechselstrom, hai confermato la soluzione che ho trovato io.
Tuttavia studiando bene il problema ho visto che la teoria del corpo seminfinito è troppo approsssimativa, quindi inevitabile è l'uso di un software ai volumi finiti. Probabilmente la soluzione la si trova in coordinate cilindriche ed in condizioni di assial simmetria.
Cmq con i dati che abbiamo ottenuto si vede come dopo 24 ore con tali condizioni , il terreno a circa 1,5 metri è indisturbato.

Diciamo che come analisi iniziale due sonde devono essere poste ad una distanza non inferiore ai 4 metri. Approssimando a 2 metri la distanza del terreno a tempertaura indisturbata.

Grazie, ciao.

Andrea