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Problema di Matematica/Fisica

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  • Problema di Matematica/Fisica

    Salve a tutti vorrei chiedervi un aiuto su come risolvere senza l'uso di software questo problema.
    Premetto che devo calcolare a che distanza dalla sonda geotermica verticale la temperatura cala in 24 ore, considerando un andamento sinusoidale periodico dell'assorbimento da parte della sonda. Questo utile per vedere a che distanza mettere 2 sonde. Una volta risolto sposter la discussione in geotermia, ma per ora rimane un esercizio di matematica.

    Premetto alcune cose:
    Considerare un regime periodico stabilizzato
    Probabilmente si dovrà determinare l'integrale particolare x un corpo seminfinito.
    L'eq di partenza quella di fourier:



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  • #2
    Ho provato a risolverlo facendo riferimento ad un corpo seminfinito, modello molto usato nei transitori termici riguardanti corpi come il terreno. In particolare x la sonda affogata nel terreno, allinterno della quale si ha un moto convettivo forzato e quindi caratterizzato da valori dei coeff. piuttosto elevati, i quali danno luogo a condizioni al contorno del primo tipo.
    Ho considerato quindi un transitorio a gradino, vedendo cosa accade nei primi metri circostanti la sonda.
    Ho adimensionalizzato la temperatura e mediante l'Error Function (erf) di Gauss ho ottenuto:

    assumendo:


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    • #3
      E questo il grafico: Cosa ne pensate pu essere giusto risolverlo cos?

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      • #4
        Ciao Clash4,
        io ho risolto cos:
        partendo dall'eq. w/t = a2w/x2, con dominio 0 <= x < +inf,

        dove il carattere denota l'operatore di derivata parziale, w = w(x, t) il campo scalare di temperatura e a la conduttività termica in W/(mK);
        poi impongo le condizioni al contorno da te specificate (condizioni al contorno del I tipo), cio
        w(x, 0) = T0 = temperatura della "superficie laterale" della sonda
        w(0, t) = Te = temperatura dell'estremità x=0 della sonda.
        Per separazione delle variabili si trova la soluzione:

        w(x, t) = T0erf[x/(2Sqrt(at))] + Teerfc[x/(2Sqrt(at))]

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        • #5
          Allora ho fatto il grafico di
          w(x,t=86.400s) = 14erf[x/(2Sqrt(1,510-686.400))] - 2erfc[x/(2Sqrt(1,510-686.400))]

          image
          Ciao <img src=">

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          • #6
            Grazie wechselstrom, hai confermato la soluzione che ho trovato io.
            Tuttavia studiando bene il problema ho visto che la teoria del corpo seminfinito troppo approsssimativa, quindi inevitabile l'uso di un software ai volumi finiti. Probabilmente la soluzione la si trova in coordinate cilindriche ed in condizioni di assial simmetria.
            Cmq con i dati che abbiamo ottenuto si vede come dopo 24 ore con tali condizioni , il terreno a circa 1,5 metri indisturbato.

            Diciamo che come analisi iniziale due sonde devono essere poste ad una distanza non inferiore ai 4 metri. Approssimando a 2 metri la distanza del terreno a tempertaura indisturbata.

            Grazie, ciao.

            Andrea

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