Buon giorno a tutti,
anche io sto "ragionando" su tali circuiti ... RC per il momento e le mie nozioni sulle equazioni differenziali ... sono ormai parecchio arruggiunite ...
ho deciso di presentare un altro tread in quanto le equazioni successive NON sono propriamente uguali a quelle utilizzate nel post
Discussione su circuiti RL e RC e NON volevo creare confusiuone ...
Partiamo con ordine ...
Sul libro su cui sto studiando Halliday è presentata la soluzione della carica nel condensatore dopo un "tot" di tempo, ma vorrei ricavare i vari passaggi per arrivare a tale soluzione.
Vorrei esporre a Voi i passagg ottenuti per verificarne la correttezza, ringraziandoVi anticipatamente e sperando di aver fornito materiale anche per gli altri ;-)
Obiettivo:
ottenere il risultato q=CE[1-e^(-T/RC)]
con q ---> carica del condensatore.
Il circuito è il solito RC serie con una "batteria" o f.e.m. ideale E
Cominciamo con l'inserire uguaglianze che utilizzeremo durante il progredire delle equazioni.
[1] i = dq/dt
[2] q = C * V ( dove C è la capacita del condensatore e V la differenza di potenziale del condensatore )
[3] dq = C * dV
Applicando la regola delle maglie percorrendo in senso orario o 2.do principio di Kirchoff otteniamo
E - iR - (q/C) = 0 sia q che i variano nel tempo
Applichiamo l' uguaglianza [1] i = dq/dt all'equazione ed otteniamo:
E - R*dq/dt - (q/C) = 0
Riordiniano in modo da avere a sinistra la differenze di potenziale sulle maglie del condensatore
(q/C) = E - R*dq/dt
Applichiamo ora l' uguaglianza [3] dq = C * dV ottenendo:
(q/C) = E - RC*dV/dt
Riordiniamo nuovamente
RC*dV/dt = E - (q/C)
ora moltiplico per dt/[E - (q/C)] ed otteniamo
RC* dV/[E - (q/C)] = dt
cambio di segno
-RC* dV/[(q/C) - E] = -dt
Ora visto che il condensatore passa da una differenze di potenziale 0 ad una di V quando è completamente carico,
integriamo tra 0 e V a sinistra e 0 e T a destra, cioè impiega un tempo T per caricarsi.
Per comprensione scrivo int per intendere il simbolo di integrale ( tra 0 e V a sinistra e 0 e T a destra )
-RC intdV/[(q/C) - E] = - intdt
Risolvendo
-RC * {ln [(q/c) - E ]} = T
calcolato fra 0 e V
[*** PUNTO 1 ***]
-RC * {ln [(q/c) - ln(E) ]} = -T
la differenza fra logaritmi è uguale al logaritmo del rapporto
-RC * ln{[(q/C)-E] / (-E)} = -T
-RC * ln{1- [(q/C) / E]} = - T
sapendo che ---> (q/C) / E = q/CE
ln[1- (q/CE)] = -T/RC
e^[ln[1- (q/CE)]] = e^(-T/RC)
[*** PUNTO 2 ***]
1- (q/CE) = e^ (-T/RC)
evidenziando q otteniamo proprio:
q=CE[1-e^(-T/RC)]
C.V.D.
Ora ... mi scuso anticipatamente per NON aver commentato proprio tutto ... ve l'ho detto sono un pò arrugginito ... e chedo scusa anche per qualche "strafalcio" ... spero siano pochi ... ma ho ritato fuori questo processo recuparando un pò da quallo che avevo ...
In particolare per dimenticanze mie proprio NON so dare spegazione a questi due punti:
[*** PUNTO 1 ***]
-RC * {ln [(q/c) - ln(E) ]} = -T
Il cambio di segno ... credo sia più che altro per avere successivamente una forma "più umana" del tutto ...
quindi un "trucchetto"
[*** PUNTO 2 ***]
1- (q/CE) = e^ (-T/RC)
Quì invece NON ricordo ... molto bene ... potrebbe essere la derivata del passaggio prima ?
Grazie anticipatamente a chi vorrà intervenire
Spero di aver fornito materiale utile
saluti
Riddler ?
anche io sto "ragionando" su tali circuiti ... RC per il momento e le mie nozioni sulle equazioni differenziali ... sono ormai parecchio arruggiunite ...
ho deciso di presentare un altro tread in quanto le equazioni successive NON sono propriamente uguali a quelle utilizzate nel post
Discussione su circuiti RL e RC e NON volevo creare confusiuone ...
Partiamo con ordine ...
Sul libro su cui sto studiando Halliday è presentata la soluzione della carica nel condensatore dopo un "tot" di tempo, ma vorrei ricavare i vari passaggi per arrivare a tale soluzione.
Vorrei esporre a Voi i passagg ottenuti per verificarne la correttezza, ringraziandoVi anticipatamente e sperando di aver fornito materiale anche per gli altri ;-)
Obiettivo:
ottenere il risultato q=CE[1-e^(-T/RC)]
con q ---> carica del condensatore.
Il circuito è il solito RC serie con una "batteria" o f.e.m. ideale E
Cominciamo con l'inserire uguaglianze che utilizzeremo durante il progredire delle equazioni.
[1] i = dq/dt
[2] q = C * V ( dove C è la capacita del condensatore e V la differenza di potenziale del condensatore )
[3] dq = C * dV
Applicando la regola delle maglie percorrendo in senso orario o 2.do principio di Kirchoff otteniamo
E - iR - (q/C) = 0 sia q che i variano nel tempo
Applichiamo l' uguaglianza [1] i = dq/dt all'equazione ed otteniamo:
E - R*dq/dt - (q/C) = 0
Riordiniano in modo da avere a sinistra la differenze di potenziale sulle maglie del condensatore
(q/C) = E - R*dq/dt
Applichiamo ora l' uguaglianza [3] dq = C * dV ottenendo:
(q/C) = E - RC*dV/dt
Riordiniamo nuovamente
RC*dV/dt = E - (q/C)
ora moltiplico per dt/[E - (q/C)] ed otteniamo
RC* dV/[E - (q/C)] = dt
cambio di segno
-RC* dV/[(q/C) - E] = -dt
Ora visto che il condensatore passa da una differenze di potenziale 0 ad una di V quando è completamente carico,
integriamo tra 0 e V a sinistra e 0 e T a destra, cioè impiega un tempo T per caricarsi.
Per comprensione scrivo int per intendere il simbolo di integrale ( tra 0 e V a sinistra e 0 e T a destra )
-RC intdV/[(q/C) - E] = - intdt
Risolvendo
-RC * {ln [(q/c) - E ]} = T
calcolato fra 0 e V
[*** PUNTO 1 ***]
-RC * {ln [(q/c) - ln(E) ]} = -T
la differenza fra logaritmi è uguale al logaritmo del rapporto
-RC * ln{[(q/C)-E] / (-E)} = -T
-RC * ln{1- [(q/C) / E]} = - T
sapendo che ---> (q/C) / E = q/CE
ln[1- (q/CE)] = -T/RC
e^[ln[1- (q/CE)]] = e^(-T/RC)
[*** PUNTO 2 ***]
1- (q/CE) = e^ (-T/RC)
evidenziando q otteniamo proprio:
q=CE[1-e^(-T/RC)]
C.V.D.
Ora ... mi scuso anticipatamente per NON aver commentato proprio tutto ... ve l'ho detto sono un pò arrugginito ... e chedo scusa anche per qualche "strafalcio" ... spero siano pochi ... ma ho ritato fuori questo processo recuparando un pò da quallo che avevo ...
In particolare per dimenticanze mie proprio NON so dare spegazione a questi due punti:
[*** PUNTO 1 ***]
-RC * {ln [(q/c) - ln(E) ]} = -T
Il cambio di segno ... credo sia più che altro per avere successivamente una forma "più umana" del tutto ...
quindi un "trucchetto"
[*** PUNTO 2 ***]
1- (q/CE) = e^ (-T/RC)
Quì invece NON ricordo ... molto bene ... potrebbe essere la derivata del passaggio prima ?
Grazie anticipatamente a chi vorrà intervenire
Spero di aver fornito materiale utile
saluti
Riddler ?
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