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Discussione: TUTTE le equazioni del Circuito RC

  1. #1
    Riddler
    Ospite

    Predefinito



    Buon giorno a tutti,

    anche io sto "ragionando" su tali circuiti ... RC per il momento e le mie nozioni sulle equazioni differenziali ... sono ormai parecchio arruggiunite ...
    ho deciso di presentare un altro tread in quanto le equazioni successive NON sono propriamente uguali a quelle utilizzate nel post
    Discussione su circuiti RL e RC e NON volevo creare confusiuone ...

    Partiamo con ordine ...

    Sul libro su cui sto studiando Halliday è presentata la soluzione della carica nel condensatore dopo un "tot" di tempo, ma vorrei ricavare i vari passaggi per arrivare a tale soluzione.

    Vorrei esporre a Voi i passagg ottenuti per verificarne la correttezza, ringraziandoVi anticipatamente e sperando di aver fornito materiale anche per gli altri ;-)

    Obiettivo:

    ottenere il risultato q=CE[1-e^(-T/RC)]
    con q ---> carica del condensatore.

    Il circuito è il solito RC serie con una "batteria" o f.e.m. ideale E

    Cominciamo con l'inserire uguaglianze che utilizzeremo durante il progredire delle equazioni.
    [1] i = dq/dt
    [2] q = C * V ( dove C è la capacita del condensatore e V la differenza di potenziale del condensatore )
    [3] dq = C * dV

    Applicando la regola delle maglie percorrendo in senso orario o 2.do principio di Kirchoff otteniamo

    E - iR - (q/C) = 0 sia q che i variano nel tempo

    Applichiamo l' uguaglianza [1] i = dq/dt all'equazione ed otteniamo:

    E - R*dq/dt - (q/C) = 0

    Riordiniano in modo da avere a sinistra la differenze di potenziale sulle maglie del condensatore

    (q/C) = E - R*dq/dt

    Applichiamo ora l' uguaglianza [3] dq = C * dV ottenendo:

    (q/C) = E - RC*dV/dt

    Riordiniamo nuovamente

    RC*dV/dt = E - (q/C)

    ora moltiplico per dt/[E - (q/C)] ed otteniamo

    RC* dV/[E - (q/C)] = dt

    cambio di segno

    -RC* dV/[(q/C) - E] = -dt

    Ora visto che il condensatore passa da una differenze di potenziale 0 ad una di V quando è completamente carico,
    integriamo tra 0 e V a sinistra e 0 e T a destra, cioè impiega un tempo T per caricarsi.

    Per comprensione scrivo int per intendere il simbolo di integrale ( tra 0 e V a sinistra e 0 e T a destra )

    -RC intdV/[(q/C) - E] = - intdt

    Risolvendo

    -RC * {ln [(q/c) - E ]} = T
    calcolato fra 0 e V

    [*** PUNTO 1 ***]
    -RC * {ln [(q/c) - ln(E) ]} = -T

    la differenza fra logaritmi è uguale al logaritmo del rapporto

    -RC * ln{[(q/C)-E] / (-E)} = -T

    -RC * ln{1- [(q/C) / E]} = - T

    sapendo che ---> (q/C) / E = q/CE

    ln[1- (q/CE)] = -T/RC

    e^[ln[1- (q/CE)]] = e^(-T/RC)

    [*** PUNTO 2 ***]
    1- (q/CE) = e^ (-T/RC)

    evidenziando q otteniamo proprio:

    q=CE[1-e^(-T/RC)]

    C.V.D.

    Ora ... mi scuso anticipatamente per NON aver commentato proprio tutto ... ve l'ho detto sono un pò arrugginito ... e chedo scusa anche per qualche "strafalcio" ... spero siano pochi ... ma ho ritato fuori questo processo recuparando un pò da quallo che avevo ...

    In particolare per dimenticanze mie proprio NON so dare spegazione a questi due punti:
    [*** PUNTO 1 ***]
    -RC * {ln [(q/c) - ln(E) ]} = -T

    Il cambio di segno ... credo sia più che altro per avere successivamente una forma "più umana" del tutto ...
    quindi un "trucchetto"


    [*** PUNTO 2 ***]
    1- (q/CE) = e^ (-T/RC)

    Quì invece NON ricordo ... molto bene ... potrebbe essere la derivata del passaggio prima ? :(


    Grazie anticipatamente a chi vorrà intervenire

    Spero di aver fornito materiale utile

    saluti


    Riddler ?

  2. #2
    Ospite

    Predefinito

    CITAZIONE (Riddler @ 18/7/2007, 13:16)
    RC* dV/[E - (q/C)] = dt

    cambio di segno

    -RC* dV/[(q/C) - E] = -dt

    Qui c'è un errore di segno. Al primo membro hai moltiplicato per -1 ed invertito il denominatore, quindi ... bastava così :).

    CITAZIONE (Riddler @ 18/7/2007, 13:16)
    -RC * ln{[(q/C)-E] / (-E)} = -T

    e qui risbagli segno e così il risultato è OK!
    CITAZIONE (Riddler @ 18/7/2007, 13:16)
    [*** PUNTO 2 ***]
    1- (q/CE) = e^ (-T/RC)

    Quì invece NON ricordo ... molto bene ... potrebbe essere la derivata del passaggio prima ? :(

    semplicemente una formula inversa, se ln y = x allora y = ex

    Ciao

  3. #3
    Riddler
    Ospite

    Predefinito


    Scusate se ritorno solo ora ... ma ieri subito dopo aver postato ... ho dovuto scappare ... urgenza :-(


    Grazie Steven per il controllo ;-)

    QUOTE (StevenING @ 18/7/2007, 14:59)
    QUOTE (Riddler @ 18/7/2007, 13:16)
    RC* dV/[E - (q/C)] = dt

    cambio di segno

    -RC* dV/[(q/C) - E] = -dt

    Qui c'è un errore di segno. Al primo membro hai moltiplicato per -1 ed invertito il denominatore, quindi ... bastava così :).

    si scusate ... copiando dal foglio ho sbagliato io ...
    sarebbe così

    -RC* dV/[(q/C) - E] = dt


    QUOTE (Riddler @ 18/7/2007, 13:16)
    -RC * ln{[(q/C)-E] / (-E)} = -T

    QUOTE (StevenING @ 18/7/2007, 14:59)
    e qui risbagli segno e così il risultato è OK!

    Anche quì avrebbe dovuto essere
    -RC * ln{[(q/C)-E] / (-E)} = T

    QUOTE (Riddler @ 18/7/2007, 13:16)
    [*** PUNTO 2 ***]
    1- (q/CE) = e^ (-T/RC)

    Quì invece NON ricordo ... molto bene ... potrebbe essere la derivata del passaggio prima ? :(

    QUOTE (StevenING @ 18/7/2007, 14:59)
    semplicemente una formula inversa, se ln y = x allora y = ex

    Ciao

    eh eh ... Vi avevo avvisato di essere MOLTO arrugginito ... le cose più semplici ... e uno NON ci pensa ... poi ieri ero particolarmente fuso ...

    Quindi ricapitolando i passaggi, così da fornire "un qualcosa" di ordinato a chi cercherà in futuro ... dovrebbero essere


    Uguaglianze che utilizzeremo durante il progredire delle equazioni.
    [1] i = dq/dt
    [2] q = C * V ( dove C è la capacita del condensatore e V la differenza di potenziale del condensatore )
    [3] dq = C * dV

    Applicando la regola delle maglie percorrendo in senso orario o 2.do principio di Kirchoff otteniamo

    E - iR - (q/C) = 0 sia q che i variano nel tempo

    Applichiamo l' uguaglianza [1] i = dq/dt all'equazione ed otteniamo:

    E - R*dq/dt - (q/C) = 0

    Riordiniano in modo da avere a sinistra la differenze di potenziale sulle maglie del condensatore

    (q/C) = E - R*dq/dt

    Applichiamo ora l' uguaglianza [3] dq = C * dV ottenendo:

    (q/C) = E - RC*dV/dt

    Riordiniamo nuovamente

    RC*dV/dt = E - (q/C)

    ora moltiplico per dt/[E - (q/C)] ed otteniamo

    RC* dV/[E - (q/C)] = dt

    cambio di segno ( moltiplico e divido per -1 ---> X * (-1/-1)

    -RC* dV/[(q/C) - E] = dt

    Ora visto che il condensatore passa da una differenze di potenziale 0 ad una di V quando è completamente carico,
    integriamo tra 0 e V a sinistra e 0 e T a destra, cioè impiega un tempo T per caricarsi.

    Per comprensione scrivo int per intendere il simbolo di integrale ( tra 0 e V a sinistra e 0 e T a destra )

    -RC intdV/[(q/C) - E] = intdt

    Risolvendo

    -RC * {ln [(q/c) - E ]} = T
    calcolato fra 0 e V

    -RC * {ln [(q/c) - ln(E) ]} = T

    la differenza fra logaritmi è uguale al logaritmo del rapporto

    -RC * ln{[(q/C)-E] / (-E)} = T

    -RC * ln{1- [(q/C) / E]} = T

    sapendo che ---> (q/C) / E = q/CE

    ln[1- (q/CE)] = -T/RC

    e^[ln[1- (q/CE)]] = e^(-T/RC)

    1- (q/CE) = e^ (-T/RC)

    evidenziando q otteniamo proprio:

    q=CE[1-e^(-T/RC)]

    C.V.D.


    Ora "dovrebbe essere tutto in ordine ... che ne dite?

    saluti a tutti

    P.S. ora andrebbe fare lo stesso ragionamento per la sua scarica ... ma E a quasto punto vale 0 quindi i vari passaggi si modificano un pò mantenendo la stessa filosofia.

    OK? o ho detto una emerita ca@@ata? :wacko:


    Riddler ?

  4. #4
    Ospite

    Predefinito

    Ho due considerazioni:
    1) L'equazione dovrebbe essere espressa in V o in q. Espressioni miste sono poco comprensibili, soprattutto quando si deve integrare.

    Per intenderci:

    OK -RC* dV/[V - E] = dt o

    NO -RC* dV/[(q/C) - E] = dt


    2) Come già detto nell'altra discussione sui circuiti RL, se usi l'integrale indefinito ottieni l'espressione generica:

    V-E=K*e^(-t/RC)

    poi K te lo calcoli a seconda delle condizioni iniziali. A t=0 K=V-E

    es. se V=0 per t=0 ottieni K=-E, da cui:

    V=E(1-e^(-t/RC)) ovvero q=CE(1-e^(-t/RC))


    Ciao

  5. #5
    Riddler
    Ospite

    Predefinito

    QUOTE (StevenING @ 19/7/2007, 10:06)
    Ho due considerazioni:
    1) L'equazione dovrebbe essere espressa in V o in q.

    il risultato finale lo vorrei in q come da risultato proposto dal libro che sto utilizzando
    Fondamenti di Fisica ( Halliday, Resnik, Walker ) un librone di oltre 1300 pagine che
    tratta argomenti a partire dalla meccanica, termodinamica, passando per le equazioni di Maxweel
    fino ad arrivare all' ottica e la quantisctica ...

    QUOTE (StevenING @ 19/7/2007, 10:06)
    Espressioni miste sono poco comprensibili, soprattutto quando si deve integrare.

    Per intenderci:

    OK -RC* dV/[V - E] = dt o

    NO -RC* dV/[(q/C) - E] = dt

    si ho capito cosa intendi ... quindi meglio fare un passaggio con

    -RC* dV/[V - E] = dt

    risolvero integrando ed ottenendo
    -RC * {ln [(V) - E ]} = T

    a questo punto visto che q=CV ---> V=q/C
    sostituisco ...

    -RC * {ln [(q/c) - E ]} = T

    e vado avanti ...
    OK?

    Grazie ancora


    Riddler ?

  6. #6
    Ospite

    Predefinito

    CITAZIONE (Riddler @ 19/7/2007, 10:33)
    -RC * {ln [(q/c) - E ]} = T

    Deve essere: -RC * {ln [(q/c) - E ]} = T + costante
    NB: la costante è quella che ho chiamato K
    Ciao

  7. #7
    Riddler
    Ospite

    Predefinito

    QUOTE (StevenING @ 19/7/2007, 10:46)
    QUOTE (Riddler @ 19/7/2007, 10:33)
    -RC * {ln [(q/c) - E ]} = T

    Deve essere: -RC * {ln [(q/c) - E ]} = T + costante
    NB: la costante è quella che ho chiamato K
    Ciao

    Ma ... io avevo posto di utilizzare una integrazione definita ...

    tra 0 e V a sinistra
    tra 0 e T a destra ...

    Se l'integrale e definito K non la metto, de gli integrali sono indefiniti da entrambe le parti allora ottengo K1 a sinistra e K2 a destra
    che poi trovo imponento la situazione iniziale e finale.

    giusto?




    Riddler ?

  8. #8
    Ospite

    Predefinito

    CITAZIONE (Riddler @ 19/7/2007, 10:33)
    risolvero integrando ed ottenendo
    -RC * {ln [(V) - E ]} = T

    Se usi l'integrale definito sull'intervallo [0;V] e [0;T] allora sarà:

    -RC * {ln [(V) - E ]-ln (-E)} = T (come avevi già trovato prima)

    Se usi l'integrale indefinito allora sarà:

    -RC * ln [V - E ] + K1 = T + K2

    ma

    -RC * ln [V - E ] = T + K2 - K1

    ovvero

    -RC * ln [V - E ] = T + cost. :)

    Ciao

  9. #9
    Riddler
    Ospite

    Predefinito

    QUOTE (StevenING @ 19/7/2007, 11:19)
    QUOTE (Riddler @ 19/7/2007, 10:33)
    risolvero integrando ed ottenendo
    -RC * {ln [(V) - E ]} = T

    Se usi l'integrale definito sull'intervallo [0;V] e [0;T] allora sarà:

    -RC * {ln [(V) - E ]-ln (-E)} = T (come avevi già trovato prima)

    Se usi l'integrale indefinito allora sarà:

    -RC * ln [V - E ] + K1 = T + K2

    ma

    -RC * ln [V - E ] = T + K2 - K1

    ovvero

    -RC * ln [V - E ] = T + cost. :)

    Ciao

    Sì sì :D

    NON fa una piega ^_^

    Avevo capito che poi K1 e K2 messe assieme davano oriogine ad una costante unica che le inglobasse.

    Ma preferisco stabilire i valori per cui sto facendo lo studio cioè
    - il condensatore parte scarico e raggiunge una differenze di potenziale V
    - il tempo impiegato a caricarsi è T

    Se le condizioni iniziali dovessero essere diverse all'ora diventa MOLTO utile passare atraverso la soluzione con gli integrali indefiniti in modo da essere più elastici.

    Per ora grazie di tutto, magari posterò ancora :sick:

    A presto e buona giornata


    Riddler ?

  10. #10
    Ospite

    Predefinito

    Buona giornata anche a te!

  11. #11
    Riddler
    Ospite

    Predefinito

    QUOTE (StevenING @ 19/7/2007, 11:32)
    Buona giornata anche a te!

    ri-graSSSie!
    ^_^

  12. RAD

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