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CITAZIONE
Ciao a tutti!
Preciso il discorso sulla disuguaglianza di Cauchy-Schwarz.
Ipotesi: f(t) e g(t) sono due funzioni di variabile reale a valori complessi;
f(t) e g(t) sono a energia finita, ovvero integrale[ |f(t)|2, dt, -inf, inf ] < inf e integrale[ |g(t)|2, dt, -inf, inf ] < inf;
K è una costante arbitraria reale;
Tesi: | integrale[ f(t)·g(t), dt, -inf, inf ] |2 =< integrale[ |f(t)|2, dt, -inf, inf] · integrale[ |g(t)|2, dt, -inf, inf] ,
dove il segno di uguale vale se e solo se f(t) = K·ComplessoConiugato[g(t)].
Preciso il discorso sulla disuguaglianza di Cauchy-Schwarz.
Ipotesi: f(t) e g(t) sono due funzioni di variabile reale a valori complessi;
f(t) e g(t) sono a energia finita, ovvero integrale[ |f(t)|2, dt, -inf, inf ] < inf e integrale[ |g(t)|2, dt, -inf, inf ] < inf;
K è una costante arbitraria reale;
Tesi: | integrale[ f(t)·g(t), dt, -inf, inf ] |2 =< integrale[ |f(t)|2, dt, -inf, inf] · integrale[ |g(t)|2, dt, -inf, inf] ,
dove il segno di uguale vale se e solo se f(t) = K·ComplessoConiugato[g(t)].
Caro Wechselstrom,
continuo a complimentarmi con te per la tua familiarità con la matematica.
Non frequento abitualmente gli spazi hilbertiani, e non mi muovo così a mio agio nel campo del funzioni a variabili complesse, data la mia limitata conoscenza della materia, ma nonostante ciò posso affermare che
1) quanto affermi nella frase sotto riportata non è corretto.
CITAZIONE
Inviato il: 6/6/2007, 10:17
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CITAZIONE (Wechselstrom @ 5/6/2007, 15:13)CITAZIONE (skeptic @ 5/6/2007, 13:41)L'integrale di una funzione elevata al quadrato non si discosta granché (è maggiore o uguale, aggiungo io) dal quadrato dell'integrale della funzione
Skeptic, questa conclusione, a cui sei giunto, non è altro che un caso particolare (ponendo una delle due funzioni coinvolte uguale a 1) della disuguaglianza
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CITAZIONE (Wechselstrom @ 5/6/2007, 15:13)CITAZIONE (skeptic @ 5/6/2007, 13:41)L'integrale di una funzione elevata al quadrato non si discosta granché (è maggiore o uguale, aggiungo io) dal quadrato dell'integrale della funzione
Skeptic, questa conclusione, a cui sei giunto, non è altro che un caso particolare (ponendo una delle due funzioni coinvolte uguale a 1) della disuguaglianza
2) Riguardo alla tua espressione della disuguaglianza di C S.
Per portami in terreni un po' più familiari, mi limito a considerare le funzioni reali a variabili reali, (comprese tra quelle più generali di variabile complessa)
Mi sembra restrittiva la limitazione di avere un valore finito per l'integrale della funzione estesa a tutto il campo di esistenza. Ovvero, penso che la limitazione debba essere applicata al campo in cui vogliamo applicare la disuguaglianza. In parole povere, se la funzione è per esempio f(x)=x l'integrale di |x| da -inf a + inf è = inf, ma se limitiamo lo studio della funzione nell'intervallo da 0 a 1 possiamo applicare la disuguaglianza ad una sola funzione, che in modo corretto vale (fatti salvi i requisiti della disuguaglianza di C S):
L'integrale di una funzione elevata al quadrato è minore o uguale del prodotto del quadrato dell'integrale della funzione per la variabile di integrazione
Ma poichè questa affermazione ha solo una somiglianza con il nostro caso di integrazione di potenza, mi sembrerebbe opportuno abbandonare le escursioni nella disuguaglianza di C S, e tornare a noi.
Come avevo promesso, ho calcolato l'errore nel caso della funzione a "denti di sega", con ovvero f(x) = x nell'intervallo da zero a uno, e analogamente quella f(x) = sen x nello stesso intervallo, e ho trovato nel primo caso una differenza del 33% e nel secondo del 25 % tra l'integrale del quadrato e il quadrato dell'integrale.
A questo punto mi sento di affermare che almeno per il problema che ci interessa,
l'affermazione :
L'integrale di una funzione elevata al quadrato non si discosta granchè dal quadrato dell'integrale della funzione
o quella inizialmente affermata da ElettroRik:
CITAZIONE
....rilevando uno sfasamento V-I molto contenuto, o addirittura quasi nullo, il prodotto degli integrali non si discosterebbe granchè dall'integrale dei prodotti
è da ritenersi troppo vaga per la soggettività del termine "non si discosterebbe granchè" e quindi piuttosto inutile.
Riguardo poi alle varie affermazioni di ElettroRik, ne prendo solo una, pertinente a questo caso:
CITAZIONE
Una regola base dell'elettrotecnica dice che il valore efficace RMS della potenza è pari al prodotto del valore RMS di tensione per l'RMS della corrente.
e vorrei far presente che:
CITAZIONE
Nel mondo anglosassone il valore efficace è definito RMS, dalle parole Root Mean Square, radice della media dei quadrati. L'algoritmo di calcolo infatti è il seguente:
Il segnale viene campionato istante per istante per tutta la durata di un periodo. Maggiore è il numero di valori acquisiti nel tempo, migliore è la precisione del risultato;
Ciascun valore è elevato al quadrato. Questo comporta la perdita di segno dei valori negativi;
Viene calcolata la media dei precedenti dati;
Il valore efficace è dato dalla radice quadrata della media precedentemente calcolata.
Il segnale viene campionato istante per istante per tutta la durata di un periodo. Maggiore è il numero di valori acquisiti nel tempo, migliore è la precisione del risultato;
Ciascun valore è elevato al quadrato. Questo comporta la perdita di segno dei valori negativi;
Viene calcolata la media dei precedenti dati;
Il valore efficace è dato dalla radice quadrata della media precedentemente calcolata.
che mi sembra un procedimento ben diverso da quello da te ventilato, sia pure nei limiti della "non granchè grande" differenza.
Inoltre:
CITAZIONE
Molti strumenti di misura, tra cui i multimetri più economici, sono calibrati per mostrare il valore efficace in funzione del valore medio di una tensione sinusoidale raddrizzata. Il metodo funziona bene se il segnale ha forma d'onda perfettamente sinusoidale, ma da risultati completamente errati se il segnale è distorto oppure ha una forma d'onda non sinusoidale o presenta una corrente continua sovrapposta. L'errore aumenta con l'aumentare della ricchezza in armoniche del segnale.
Alcuni strumenti sono in grado di operare il calcolo del valore efficace vero, campionando il segnale ed eseguendo i calcoli in tempo reale. Questi apparecchi sono contraddistinti dalla sigla true RMS.
La misura del valore efficace è assicurata però entro una determinata banda passante, compresa entro la frequenza di campionamento dell'apparecchio (vedi Teorema del campionamento di Nyquist-Shannon). Segnali complessi, con rapidi fronti di salita o discesa, hanno un contenuto armonico elevato. Se le armoniche superiori superano la frequenza massima gestibile dallo strumento, il valore efficace misurato risulta errato.
Alcuni strumenti sono in grado di operare il calcolo del valore efficace vero, campionando il segnale ed eseguendo i calcoli in tempo reale. Questi apparecchi sono contraddistinti dalla sigla true RMS.
La misura del valore efficace è assicurata però entro una determinata banda passante, compresa entro la frequenza di campionamento dell'apparecchio (vedi Teorema del campionamento di Nyquist-Shannon). Segnali complessi, con rapidi fronti di salita o discesa, hanno un contenuto armonico elevato. Se le armoniche superiori superano la frequenza massima gestibile dallo strumento, il valore efficace misurato risulta errato.
Tutte queste cose, ovviamente, le sai, ma da quello che scrivi puoi indurre a conclusioni errate chi non è così esperto come te.
Salvatore
Edited by skeptic - 8/6/2007, 12:50
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vedo che abbiamo appurato che, sottostando al regime tipico della cella che siamo abituati a trattare nei nostri esperimenti, ovvero:
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er conto mio,questo dielettrico è il vuoto spaziale tra catodo e ioni+acqua.
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